（渐进记号的性质）假设f(n)和g(n)为渐近正函数。证明或反驳下面的每个猜测。

a. f(n)=O(g(n))蕴含g(n)=O(f(n))。

b. f(n)+g(n)=θ(min(f(n), g(n))。

c. f(n)=O(g(n))蕴含lg(f(n))=O(lg(g(n)))，其中对所有足够大的n，有且。

d. f(n)=O(g(n))蕴含。

e. f(n)=。

f. f(n)=O(g(n))蕴含g(n)=Ω(f(n))。

g. f(n)=。

h. f(n)+o(f(n))=。

 

解答：

a. f(n)=O(g(n))蕴含g(n)=O(f(n))。 错误。

举例 ， 。

b. f(n)+g(n)=θ(min(f(n), g(n))。错误。

举例，，

c. f(n)=O(g(n))蕴含lg(f(n))=O(lg(g(n)))，其中对所有足够大的n，有且。正确。

根据O定义：

O(g(n)) = { f(n): 存在正常量c和，使得对所有，有 }

由不等式可得

。

d. f(n)=O(g(n))蕴含。正确。

根据O定义：

O(g(n)) = { f(n): 存在正常量c和，使得对所有，有 }

由不等式可得

e. f(n)=。错误。

举反例，取，则。已知n>0时，。所以命题e不成立。

f. f(n)=O(g(n))蕴含g(n)=Ω(f(n))。

从O的定义来分析该问题，O定义如下：

O(g(n)) = { f(n): 存在正常量c和，使得对所有，有 }

Ω(g(n)) = { f(n): 存在正常量c和，使得对所有，有 }

g. f(n)=。错误。

举反例。取，则，由于，所以命题不成立。

h. f(n)+o(f(n))=。正确。

 

 

根据o的定义，我们可以得到

存在正常量c和，使得对于所有，有，

另外，由于，可得 。

因此我们可以得到

，因此符合θ函数的定义。故命题成立。