假设有点$x_0 = (x_0^1,x_0^2,...x_0^m)$x0​=(x01​,x02​,...x0m​)不在超平面$y=wx*b$y=wx∗b上，其中$w = (w^1,w^2,...w^m)$w=(w1,w2,...wm)，求$x_0$x0​到$y=wx*b$y=wx∗b的距离。

步骤一：证明$w$w为超平面$y=wx+b$y=wx+b的法向量。
在超平面上取两个点$x_1，x_2$x1​，x2​，则有
$wx_1+b = 0$wx1​+b=0
$wx_2+b = 0$wx2​+b=0
$wx_1+b-(wx_2+b) =0$wx1​+b−(wx2​+b)=0
$wx_1-wx_2=0$wx1​−wx2​=0
$w(x_1-x_2)=0$w(x1​−x2​)=0
其中$x_1-x_2$x1​−x2​为位于超平面上的向量$\vec{x_2x_1}$x2​x1​​
$w$w与$x_1-x_2$x1​−x2​内积为0， 由此得$w$w与超平面$y=wx+b$y=wx+b正交。

步骤二：在$y=wx+b$y=wx+b上取点$x_0$x0​的映射$x_3$x3​，

• $x_3$x3​位于法平面上，故而 $wx_3+b=0$wx3​+b=0。
• $\vec{x_0 x_3}$x0​x3​​平行于超平面上的法向量$w$w，故而有：
  $\lvert w \vec{x_0x_3}\rvert = \lvert w \rvert \lvert{x_0x_3}\rvert cos \theta$∣wx0​x3​​∣=∣w∣∣x0​x3​∣cosθ
  $= \lvert w \rvert \lvert{x_0x_3}\rvert = \rvert\vert w\vert\lvert d （d为x_0到超平面的距离, \rvert\vert w\vert\lvert 为L_2范数）$=∣w∣∣x0​x3​∣=∣∣w∣∣d（d为x0​到超平面的距离,∣∣w∣∣为L2​范数）
  又 $\rvert w . \vec {x_0 x_3}\rvert = \rvert w. (x_3-x_0)\rvert$∣w.x0​x3​​∣=∣w.(x3​−x0​)∣
  $=\rvert w.x_3 - w.x_0\rvert$=∣w.x3​−w.x0​∣
  $=\rvert -(b+w.x_0)\rvert$=∣−(b+w.x0​)∣
  $=\rvert b+w.x_0\rvert$=∣b+w.x0​∣
  所以得到 $\rvert\vert w\vert\lvert d=\rvert b+w.x_0\rvert$∣∣w∣∣d=∣b+w.x0​∣
  $d=\frac{\lvert b+w.x_0\lvert}{\rvert\vert w\vert\lvert}$d=∣∣w∣∣∣b+w.x0​∣​