有趣的一些小性质
对于杨辉三角来说，有一个非常好的性质
你可以发现对于任意一个杨辉三角的3x3格子来说
x
1
,
1
,
x
1
,
2
,
x
1
,
3
x
2
,
1
,
x
2
,
2
,
x
2
,
3
x
3
,
1
,
x
2
,
2
,
x
3
,
3
有
:
x
1
,
1
∗
x
2
,
3
∗
x
3
,
2
=
x
1
,
2
∗
x
3
,
3
∗
x
2
,
1
x_{1,1} ,\ x_{1,2} ,\ x_{1,3}\\ x_{2,1} ,\ x_{2,2} ,\ x_{2,3}\\ x_{3,1} ,\ x_{2,2} ,\ x_{3,3}\\ 有:\\ x_{1,1}*x_{2,3}*x_{3,2} = x_{1,2}*x_{3,3}*x_{2,1}
x1,1, x1,2, x1,3x2,1, x2,2, x2,3x3,1, x2,2, x3,3有:x1,1∗x2,3∗x3,2=x1,2∗x3,3∗x2,1
(
x
y
)
=
x
y
∗
(
x
−
1
y
−
1
)
\left( \frac xy \right) = \frac xy *\left( \frac {x-1}{y-1} \right)
(yx)=yx∗(y−1x−1)
这
个
公
式
建
议
结
合
上
图
看
:
∑
k
<
=
n
(
r
+
k
k
)
=
(
r
+
n
+
1
n
)
这个公式建议结合上图看:\\ \sum_{k<=n} \left( \frac {r + k}{k} \right) = \left( \frac {r + n + 1}{n} \right)
这个公式建议结合上图看:k<=n∑(kr+k)=(nr+n+1)
同
上
:
∑
0
<
=
k
<
=
n
(
k
m
)
=
(
n
+
1
m
+
1
)
同上:\\ \sum_{0<=k<=n} \left( \frac {k}{m} \right) = \left( \frac {n + 1}{m + 1} \right)
同上:0<=k<=n∑(mk)=(m+1n+1)
2
n
=
∑
0
<
=
k
<
=
n
(
n
k
)
2^n = \sum_{0<=k<=n} \left( \frac {n}{k} \right)
2n=0<=k<=n∑(kn)
0
n
=
∑
0
<
=
k
<
=
n
(
n
k
)
∗
(
−
1
)
k
+
1
0^n = \sum_{0<=k<=n} \left( \frac {n}{k} \right) * (-1)^{k + 1}
0n=0<=k<=n∑(kn)∗(−1)k+1
二项式的上下可以为负数
并且有一个反转公式
(
r
k
)
=
(
−
1
)
k
(
k
−
r
−
1
k
)
变
换
一
下
有
:
(
−
1
)
m
∗
(
−
n
−
1
m
)
=
(
−
1
)
n
∗
(
−
m
−
1
n
)
\left( \frac {r}{k} \right) = (-1)^k\left( \frac {k-r-1}{k} \right) \\变换一下有:\\ (-1)^m * \left( \frac {-n-1}{m} \right) = (-1)^n * \left( \frac {-m-1}{n} \right)
(kr)=(−1)k(kk−r−1)变换一下有:(−1)m∗(m−n−1)=(−1)n∗(n−m−1)
再有:
(
r
m
)
(
m
k
)
=
(
r
k
)
(
r
−
k
m
−
k
)
\left( \frac {r}{m} \right)\left( \frac {m}{k} \right) = \left( \frac {r}{k} \right)\left( \frac {r-k}{m-k} \right)
(mr)(km)=(kr)(m−kr−k)