1 skip-gram举例
假设在我们的文本序列中有5个词，[“the”，“man”，“loves”，“his”，“son”]。
假设我们的窗口大小skip-window=2，中心词为“loves”，那么上下文的词即为：“the”、“man”、“his”、“son”。这里的上下文词又被称作“背景词”，对应的窗口称作“背景窗口”。
跳字模型能帮我们做的就是，通过中心词“loves”，生成与它距离不超过2的背景词“the”、“man”、“his”、“son”的条件概率，用公式表示即：
进一步，假设给定中心词的情况下，背景词之间是相互独立的，公式可以进一步得到
用概率图表示为：
可以看得出来，这里是一个一对多的情景，根据一个词来推测2m个词，（m表示背景窗口的大小）。
2 skip-gram 逐步解析
2.1 one-hot word symbol（编码）
在NLP学习笔记：word2vec_刘文巾的博客-CSDN博客 中我们说过 one-hot编码有很多的弊端（需要的空间很冗余，且无法反映单词之间的相似程度）。
但是计算机没办法识别“字符”，所有的数据必须先转化成二进制的编码形式，one-hot编码就是最便捷的一种表达方式了。（这里的one-hot只是一种过渡）
2.2 词嵌入(word embedding)
但是，one-hot表达的向量过于稀疏。我们需要用一个稠密的向量来表示单词空间。（这个向量是可以在空间中表征一定单词的含义）
我们必须先初始化一些这样的表示单词的稠密向量，然后通过学习的方式来更新向量的值（权重），然后得到我们最终想要的向量。
2.1中得到的每一个单词的one-hot编码，都需要映射到一个稠密的向量编码中。
这个映射过程，就被称作是嵌入(embedding)，因为是单词的映射，所以被叫做词嵌入(word embedding)。
假设我们要把一个单词映射到一个300维（这个300维是经过大量的实验得出的，一般的映射范围是200-500维）的向量中，那么我们直观的做法就是：矩阵运算。
因为我们每个单词现在的情况是N维的一个向量（N是字典中单词的数量），如果映射到300维，需要的权重矩阵就是N ∗ 300，这样得到的矩阵就是一个1 ∗ 300的矩阵（向量）。
2.2.1 词嵌入举例
假设我们字典中有5个单词（即N=5），那么word embedding如下图所示：
通过上图，我们可以发现一个规律：
计算出来的这个“稠密的”向量，和我们单词在one-hot编码表的位置是有关系的。
如果单词的one-hot编码中，第i维是1，那么生成的稠密词向量就是编码表的第i行。
所以我们word embedding生成稠密词向量的过程，就是一个查找编码表的过程。而这个编码表，我们可以想成是一个神经网络的隐藏层（这个隐藏层没有激活函数）。通过这个隐藏层，我们把one-hot编码映射到一个低维度的空间里面。
3 skip-gram 数学原理
在skip-gram中，每个词被表示成两个d维向量，用来计算条件概率。
假设这个词在词典中索引为i，当它为中心词时向量表示为 ，而为背景词时向量表示为
。
设中心词
在词典中索引为c，背景
在词典中索引为o，给定中心词生成一个背景词的条件概率可以通过对向量内积做softmax运算而得到：
可以想成是以c为中心词，o为背景词的概率权重；
分母相当于以c为中心词，生成其他各个词的概率权重。
所以二者一除就是给定中心词生成某一个背景词的条件概率
由上面那个式子，我们可以得到：每一个中心词，推断两边分别m个位置的背景词的概率：
其中，t表示窗口中心词的位置；m表示推断窗口的大小
我们为了求出“最好”的word embedding，可以最大化上面那个概率。
基于此，我们可以使用最大似然估计的方法。
但是一个函数的最大值往往不容易计算，因此，我们可以通过对函数进行变换，从而改变函数的增减性，以便优化。
其中，我们把
带到上式中，可以得到
通过上面一段的操作，我们把一个求最大值的问题转换成了一个求最小值的问题。
求最小值，我们可以使用梯度下降法。
在优化之前，我们要搞清楚我们优化的目标是那个，哪些是参数。
我们要做一个假设，在对中心词权重更新时，背景词的权重是固定的，然后在以同样的方式来更新背景词的权重。
接下来我们求导计算梯度
这里就计算出来了中心词的梯度，可以根据这个梯度进行迭代更新。
对于背景词的更新是同样的方法。(就是上式不是对的偏导数，而是每个
的偏导数了。
但是要注意背景词的个数不是唯一的，所以更新的时候要逐个更新。
训练结束后，对于词典中的任一索引为i ii的词，我们均得到该词作为中心词和背景词的两组词向量和
还有一个小问题要说明一下：
在词典中所有的词都有机会被当做是中心词和背景词。在更新的时候，都会被更新一遍，这种时候该怎么确定一个词的向量到底该怎么选择呢？
——在NLP应用中，一般使用中心词向量作为词的表征向量。
4 skip-gram流程总结
1）one-hot编码。
每个单词形成V∗1的向量；对于整个词汇表就是V∗V的矩阵。
2）word embedding 词嵌入。
根据索引映射，将每个单词映射到d维空间。
通过这样的方式就可以将所有的单词映射到矩阵W上（矩阵W的形状为V∗d），并且每个单词与矩阵中的某列一一对应。
3）skip-gram模型训练。初始化一个d维空间的矩阵作为权重矩阵W ′ ，该矩阵的形状为V ∗ d 。
值得注意的是，目前我们已经有了两个d维空间的矩阵，要清楚这两个矩阵都是干什么的。
矩阵W的每一行对应的是单词作为中心词时的向量
。
这里初始化的矩阵W'的每一列则对应的是单词作为背景词时的向量
。
每个词都有机会成为中心词，同时也会成为其他中心词的背景词，因为窗口一直再变动。
4）取出一个词作为中心词。该词的词向量
(它的形状为d维的向量1∗d)，与背景词权重矩阵W‘中的其他词做内积。
此时会得到一个背景词的计算结果，即：
(假设背景词的索引为o)。
重复计算，我们可以得到
5）softmax层的映射。
在上一步中得到了V个背景词的概率权重，那么此时我们需要做的就是计算某一个词作为背景词的条件概率，即
6）概率最大化。
skip-gram的学习相当于监督学习，我们是有明确的背景词输入的。（就是知道这个地方的背景词应该是哪个）
我们期望窗口内的词的输出概率最大。因此我们的目标变为极大化概率
。
在不影响函数单调性的前提下我们变为极大化函数：
l（对数似然）。
但是，计算一个函数的最大值不如计算一个函数的最小值来的方便，因此这里给这个函数进行单调性变换：
7）极小化目标函数。
通过上面的变换，此时已经变为一个数学优化问题，梯度下降法更新参数。
8）更新中心词的向量
后面减去的即为梯度：
9） 8对应的梯度里面，相比于5，又多了一层对于j的求和,这个下标代表的背景词,m是窗口的大小。这么做才能与我们最初的设定相对应：一个中心词，推断多个背景词。
10）.根据同样的原理，在窗口进行移动了之后，可以进行同样的更新。
11.在词汇表中所有的词都被训练之后。我们得到了每个词的两个词向量分别为
。
5 skip-gram 优化
我们现在有一个包含10000个单词的词汇表，向量特征为300维。
那么对于这个词汇量的skip-gram，将会有两个weights矩阵----一个隐藏层和一个输出层。
这两层都会有一个300x10000=3000000的权重矩阵。
在如此大的神经网络上进行梯度下降是非常慢的，更加严重的是，我们需要大量训练数据去调整权重，以及避免过拟合。
在论文“Distributed Representations of Words and Phrases and their Compositionality”中，主要有三种方式来优化skip-gram：
5.1 在模型中将共同出现的单词对或者短语当做单个“词”
比如像“Boston Globe”（“波士顿环球报”，一种报纸）这样的单词对，在作为单独的“Boston”和“Globe”来进行看待的时候有着非常不同的含义。
所以在将它作为一整个“Boston Globe”来说是非常有意义的，不论它出现在文中哪里，都将一整个当成一个单词来看待，并且有它自己的词向量。
论文中使用了1千亿个来自谷歌新闻数据集的单词来进行训练。额外增加的短语使得这个模型的单词尺寸缩减到了3百万个单词！
5.2 二次采样
在一个很大的语料库中，有一些很高频率的一些词（比如冠词 a,the ；介词 in，on等）。
这些词相比于一些出现的次数较少的词，提供的信息不多。同时这些词会导致我们很多的训练是没有什么作用的。
为了缓解这个问题，论文中提出了二次采样的思路：每一个单词都有一定概率被丢弃。这个概率为：
f(wi)是单词出现的次数与总单词个数的比值。（例如“peanut”在1 billion 单词语料中出现了1000次，那么z('peanut')=1E-6）
t是一个选定的阈值，一般在1E-5左右。
5.3 负采样
在训练skip-gram时，每接受一个训练样本，就需要调整所有神经单元权重参数，来使神经网络预测更加准确。
换句话说，每个训练样本都将会调整所有神经网络中的参数。
词汇表的大小决定了我们skip-gram 神经网络将会有一个非常大的权重参数，并且所有的权重参数会随着数十亿训练样本不断调整。
负采样的思路是：每次让一个训练样本仅仅更新一小部分的权重参数，从而降低梯度下降过程中的计算量。
如果词汇表的大小为1万， 当输入样本 ( "fox", "quick") 到神经网络时，在输出层我们期望对应 “quick” 单词的那个神经元结点输出 1，其余 9999 个都应该输出 0。在这里，这9999个我们期望输出为0的神经元结点所对应的单词我们称之为 negative word。
负采样的想法也很直接 ，将随机选择一小部分的 negative words，比如选 10个 negative words 来更新对应的权重参数。
在论文中作者指出指出对于小规模数据集，建议选择 5-20 个 negative words，对于大规模数据集选择 2-5个 negative words.
如果使用了负采样，那么 仅仅需要去更新positive word- “quick” 和选择的其他 10 个negative words 的结点对应的权重，共计 11 个输出神经元，相当于每次只更新 300 x 11 = 3300 个权重参数。对于 3百万 的权重来说，相当于只计算了千分之一的权重，这样计算效率就大幅度提高。
这里指的权重是前面说的W'的权重，也就是背景词矩阵的权重
5.3.1 负样本（negative words）的选择
论文中使用 一元模型分布 (unigram distribution) 来选择 negative words。
一个单词被选作 负样本 的概率跟它出现的频次有关，出现频次越高的单词越容易被选作负样本，经验公式为：
其中：
f(w) 代表 每个单词被赋予的一个权重，即 它单词出现的词频。
分母 代表所有单词的权重和。
公式中指数3/4完全是基于经验的，论文中提到这个公式的效果要比其它公式更加出色。
参考文献
NLP之---word2vec算法skip-gram原理详解_Ricky-CSDN博客_skipgram
Word2Vec教程-Skip-Gram模型 - 简书 (jianshu.com)
Word2Vec教程-Negative Sampling 负采样 - 简书 (jianshu.com)
countries.capitals.projections.eps (arxiv.org)
Word2Vec导学第二部分 - 负采样_陈诚的博客-CSDN博客_负采样