1.问题

用Floyd算法求解下图各个顶点的最短距离。写出Floyd算法的伪代码和给出距离矩阵（顶点之间的最短距离矩阵）

2.解析

上图中有4个城市8条公路，公路上的数字表示这条公路的长短。请注意这些公路是单向的。我们现在需要求任意两个城市之间的最短路程，也就是求任意两个点之间的最短路径。这个问题这也被称为“多源最短路径”问题。

现在需要一个数据结构来存储图的信息，我们仍然可以用一个4*4的矩阵（二维数组e）来存储。比如1号城市到2号城市的路程为2，则设e[1][2]的值为2。2号城市无法到达4号城市，则设置e[2][4]的值为∞。另外此处约定一个城市自己是到自己的也是0，例如e[1][1]为0。

我们来想一想，根据我们以往的经验，如果要让任意两点（例如从顶点a点到顶点b）之间的路程变短，只能引入第三个点（顶点k），并通过这个顶点k中转即a->k->b，才可能缩短原来从顶点a点到顶点b的路程。那么这个中转的顶点k是1~n中的哪个点呢？甚至有时候不只通过一个点，而是经过两个点或者更多点中转会更短，即a->k1->k2b->或者a->k1->k2…->k->i…->b。比如上图中从4号城市到3号城市（4->3）的路程e[4][3]原本是12。如果只通过1号城市中转（4->1->3），路程将缩短为11（e[4][1]+e[1][3]=5+6=11）。其实1号城市到3号城市也可以通过2号城市中转，使得1号到3号城市的路程缩短为5（e[1][2]+e[2][3]=2+3=5）。所以如果同时经过1号和2号两个城市中转的话，从4号城市到3号城市的路程会进一步缩短为10。通过这个的例子，我们发现每个顶点都有可能使得另外两个顶点之间的路程变短。

3. 设计

1.	#include
2.	int main()
3.	{
4.	    int e[10][10],k,i,j,n,m,t1,t2,t3;
5.	    int inf=99999999; //用inf(infinity的缩写)存储一个我们认为的正无穷值
6.	 
7.	    //读入n和m，n表示顶点个数，m表示边的条数
8.	    scanf("%d %d",&n,&m);
9.	 
10.	    //初始化
11.	    for(i=1;i<=n;i++)
12.	         for(j=1;j<=n;j++)
13.	             if(i==j) 
14.	                e[i][j]=0;
15.	             else 
16.	                e[i][j]=inf;
17.	 
18.	     //读入边
19.	     for(i=1;i<=m;i++)
20.	     {
21.	         scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);
22.	         e[t1][t2]=t3;
23.	     }
24.	 
25.	     //Floyd-Warshall算法核心语句
26.	     for(k=1;k<=n;k++)
27.	         for(i=1;i<=n;i++)
28.	             for(j=1;j<=n;j++)
29.	                 if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j] )
30.	                     e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];
31.	 
32.	    //输出最终的结果
33.	     for(i=1;i<=n;i++)
34.	     {
35.	        for(j=1;j<=n;j++)
36.	         {
37.	             printf("%10d",e[i][j]);
38.	         }
39.	     printf("\n");
40.	     }
41.	 
42.	 return 0;
43.	}

4. 源代码地址

https://github.com/Lin02993/-