最小环问题

1. 最小环定义：

• 最小环是指在一个图中，有n个节点构成的边权和最小的环(n>=3)。

• 一般来说,最小环分为有向图最小环和无向图最小环。

2. 最小环算法

1. Dijkstra解法
   • 设u和v之间有一条边长为w的边，dis(u,v)表示删除u和v之间的连边之后，u和v之间的最短路。
   • 那么最小环是枚举每一条边，并删除此条边后，以其中一个端点为起点跑一边单源最短路最小环的值为：min(dis(u,v)+w)
   • 时间效率为：\(O(m*n*log\ n)\) ,对稠密图来说边数 \(m\) 趋近 \(n^2\), 所以时间效率为 \(O(n^3log\ n)\)。
2. Floyd 解法
   • 记原图u,v之间边权为mp(u,v),floyd算法在外层循环到第k个点时(还没开始第k次循环),最短路数组dis中，dis(u,v)表示的是从u到v且仅经过编号[1,k)区间中的点的最短路。
   • 最小环至少有三个顶点，设其中编号最大的顶点编号为w，环上与w相邻两侧的两个点为u,v,则在最外层循环枚举到k=w时，该环的长度为dis(u,v)+mp(v,w)+mp(w,u)，所以在循环时候i,j只需枚举到i<k,j<k更新答案即可。
   • 复杂度：\(O(n^3)\)

3. 例题

1. find the mincost route(hdu1599)

   Description

   • 杭州有N个景区，景区之间有一些双向的路来连接，现在8600想找一条旅游路线，这个路线从A点出发并且最后回到A点，假设经过的路线为\(V_1,V_2,....V_K,V_1\),那么必须满足\(K>2\) ,就是说至除了出发点以外至少要经过2个其他不同的景区，而且不能重复经过同一个景区。现在8600需要你帮他找一条这样的路线，并且花费越少越好。

   Input

   • 第一行是2个整数N和M(N <= 100, M <= 1000)，代表景区的个数和道路的条数。
   • 接下来的M行里，每行包括3个整数a,b,c.代表a和b之间有一条通路，并且需要花费c元(c <= 100)。

   Output

   • 对于每个测试实例，如果能找到这样一条路线的话，输出花费的最小值。如果找不到的话，输出It's impossible.。

   Sample Input

   3 3
   1 2 1
   2 3 1
   1 3 1
   3 3
   1 2 1
   1 2 3
   2 3 1
   

   Sample Output

   3
   It's impossible.
   

   Hint

   • 有可能存在重边，保留权值最小那条。

   Code

   #include <bits/stdc++.h>
   #define Inf 0x3f3f3f3f
   typedef long long LL;
   const int maxn=100+5;
   LL dis[maxn][maxn],mp[maxn][maxn]; //注意开longlong
   int n, m;
   void Init(){	
       for (int i = 1; i <= n; i++)
           for (int j = 1; j <= n; j++)
               mp[i][j] = i == j ? 0 : Inf;
   }
   void Solve(){
   	while(~scanf("%d%d", &n, &m)){
   		Init();//多组数据注意初始化
   		for (int i = 0; i < m; i++){
   	        int u, v; LL w;
   	        scanf("%d%d%lld", &u, &v, &w);
   	        if (w < mp[u][v])//处理重边，保留权值小的
   	            mp[v][u] = mp[u][v] = w;
   	    }
   	    for (int i = 1; i <= n; i++)
   	        for (int j = 1; j <= n; j++)
   	            dis[i][j] = mp[i][j];//初始化两点间的距离
   	    LL ans = Inf;
   	    for (int k = 1; k <= n; k++){//枚举中间点
   	        for (int i = 1; i < k; i++)//枚举k的其中一个相邻点
   	            for (int j = i + 1; j < k; j++)//枚举k的另一相邻点
   	                ans = std::min(ans, dis[i][j] + mp[i][k] + mp[k][j]);
               		//上面暂时不能以k为中间点更新dis[i][j],如果更新可能不是环
   	        for (int i = 1; i <= n; i++)//k无用了，可以用来更新
   	            for (int j = 1; j <= n; j++)
   	                dis[i][j] = std::min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
   	    }
   	    if (ans == Inf)
   	        printf("It's impossible.\n");
   	    else
   	        printf("%lld\n", ans);
   	}
       
   }
   int main(){
       Solve();
       return 0;
   }
   

4. 总结

• 求最小环问题我们一般用Floyd，相较于Dijskra，Floyd 更简单且高效
• 对有有向图的最小环问题，我们直接用Floyd跑一遍最短路，然后遍历一遍1~n，求出min(dis[i][i])即可，显然初始是dis[i][i]=Inf。
• 并查集、Tarjan均可求环，但他们只能求只有简单环的图，对有切环、套环的图无法求最小环。
• 要想求图中节点最少的环，我们可以把边权设为1，然后用Floyd求最小环。