定义

考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。n个元素的错排数记为D(n)。

公式递推

首先在n个数里任意取一个元素p，它有n-1个位置可以放置，假设它被放在编号为m的位置，然后讨论一下原本在m位置的元素的去向。
1.如果m元素放在p元素原来的位置，那么这两个元素的位置就固定了，也就是说需要对剩下的n-2元素进行错排，这种情况就是D(n-2);
2.如果m元素一定不放在p元素原来的位置，那么也就是说m与剩下的n-2个元素共同组成一个排列，然后对这n-1个元素进行错排，这种情况就是D(n-1);
所以，D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2)),D(1)=0,D(2)=1
\(D(n)=\frac{n!}{\frac{(-1)^2}{2!}+\frac{(-1)^3}{3!}+\frac{(-1)^4}{4!}+\cdots +\frac{(-1)^(n-1)}{(n-1)!}+\frac{(-1)^n}{n!}}\)
然后观察分母，再联想e^x级数展开式：\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}=\sum_{0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}\)
如果让x=-1，就得到:\(\frac{1}{e}=\frac{(-1)^2}{2!}+\frac{(-1)^3}{3!}+\cdots +\frac{(-1)^n}{n!}\)
所以，\(D(n)=\frac{n!}{e}\)