超大背包问题

输入条件：\(1\le n\le40,1\le w_i,v_i\le10^{15},1\le W\le 10^{15}\)

解法：因为不能够再像前面的背包问题一样，把背包容量作为状态来储存了，因为开不了那么大的空间，那么就应该好好利用 n 很小的这个优势，但是如果全部遍历的话，复杂度就是\(O(2^n)\)很明显这也不能跑完，但是我们可以利用折半枚举，来降低其复杂度，这样复杂度就只有\(O(2^{n/2}n)\)了。

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#include <bits/stdc++.h>
#define se second
#define INF 0x7fffffffffffffff
#define pll pair<long long,long long>
#define ll long long
using namespace std;

const int maxn=45;
ll w[maxn],v[maxn];
ll W;
pll p[1<<(maxn/2)];
int main()
{
    int n;  cin>>n>>W;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        cin>>w[i]>>v[i];
    int n1=n/2;
    for(int i=0;i<1<<n1;++i){
        ll sw=0,sv=0;
        for(int j=0;j<n1;++j)
            if(i>>j&1) sw+=w[j],sv+=v[j];
        p[i]={sw,sv};
    }
    sort(p,p+(1<<n1));
    int m=1;
    for(int i=0;i<1<<n1;++i)
        if(p[m-1].se<p[i].se) p[m++]=p[i];
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<1<<(n-n1);++i)
    {
        ll sw=0,sv=0;
        for(int j=0;j<n-n1;++j)
            if(i>>j&1) sw+=w[n1+j],sv+=v[n1+j];
        if(sw<=W){
            ll t=(lower_bound(p,p+m,make_pair(W-sw,INF))-1)->se;
            ans=max(ans,sv+t);
        }
    }
    cout<<ans<<'\n';
    return 0;
}