BZOJ 3259 [Sdoi2014]数表 (莫比乌斯反演 + 树状数组)

2023-08-07 21:29:58

3529: [Sdoi2014]数表

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Description

有一张N×m的数表，其第i行第j列（1 < =i < =礼，1 < =j < =m）的数值为
能同时整除i和j的所有自然数之和。给定a，计算数表中不大于a的数之和。

Input

输入包含多组数据。
输入的第一行一个整数Q表示测试点内的数据组数，接下来Q行，每行三个整数n，m，a(|a| < =10^9)描述一组数据。

Output

对每组数据，输出一行一个整数，表示答案模2^31的值。

Sample Input

2
4 4 3
10 10 5

Sample Output

20
148

HINT

1 < =N．m < =10^5 ， 1 < =Q < =2×10^4

Source

Round 1 Day 1

析：令F(i) 表示 i 的约数和，这个可以先预处理出来，然后先考虑没有 a 这个限制，令 g(i) 表示gcd(x,y)=i 数对(x,y)的个数，当然1<=x<=n,1<=y<=m，由莫比乌斯反演很容易就可以得到这个式子

然后就能够得到

枚举每一个i，暴力更新i的倍数，然后处理前缀和，这样做是O(nlogn)的，有的a的限制，我们可以先把所有的处理都离线，然后将询问按照a排序，i按照F(i)排序，每次询问将所有F(i)<=a的i按照之前的方式插入用树状数组维护前缀和即可，最后关于取模，这是一个比较特殊的，可以用自然溢出，然后最后答案进行按位与操作也就是ans&2147483647。

代码如下：

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")

#include <cstdio>

#include <string>

#include <cstdlib>

#include <cmath>

#include <iostream>

#include <cstring>

#include <set>

#include <queue>

#include <algorithm>

#include <vector>

#include <map>

#include <cctype>

#include <cmath>

#include <stack>

#include <sstream>

#include <list>

#include <assert.h>

#include <bitset>

#include <numeric>

#define debug() puts("++++")

#define gcd(a, b) __gcd(a, b)

#define lson l,m,rt<<1

#define rson m+1,r,rt<<1|1

#define fi first

#define se second

#define pb push_back

#define sqr(x) ((x)*(x))

#define ms(a,b) memset(a, b, sizeof a)

#define sz size()

#define pu push_up

#define pd push_down

#define cl clear()

#define lowbit(x) -x&x

//#define all 1,n,1

#define FOR(i,x,n)  for(int i = (x); i < (n); ++i)

#define freopenr freopen("in.txt", "r", stdin)

#define freopenw freopen("out.txt", "w", stdout)

using namespace std;

typedef long long LL;

typedef unsigned long long ULL;

typedef pair<int, int> P;

const int INF = 0x3f3f3f3f;

const LL LNF = 1e17;

const double inf = 1e20;

const double PI = acos(-1.0);

const double eps = 1e-8;

const int maxn = 1e5 + 5;

const int maxm = 2e4 + 10;

const LL mod = 1e9 + 7LL;

const int dr[] = {-1, 1, 0, 0, 1, 1, -1, -1};

const int dc[] = {0, 0, 1, -1, 1, -1, 1, -1};

const char *de[] = {"0000", "0001", "0010", "0011", "0100", "0101", "0110", "0111", "1000", "1001", "1010", "1011", "1100", "1101", "1110", "1111"};

int n, m;

const int mon[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};

const int monn[] = {0, 31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};

inline bool is_in(int r, int c) {

  return r >= 0 && r < n && c >= 0 && c < m;

}

bool vis[maxn];

int prime[maxn];

int mu[maxn];

void Moblus(){

  mu[1] = 1;

  int tot = 0;

  for(int i = 2; i < maxn; ++i){

    if(!vis[i])  prime[tot++] = i, mu[i] = -1;

    for(int j = 0; j < tot && i * prime[j] < maxn; ++j){

      int t = i * prime[j];

      vis[t] = 1;

      if(i % prime[j] == 0) break;

      mu[t] = -mu[i];

    }

  }

}

struct Node{

  int val, id;

  bool operator < (const Node &p) const{

    return val < p.val;

  }

};

Node f[maxn];

struct Query{

  int id, n, m, a;

  bool operator < (const Query &q) const{

    return a < q.a;

  }

};

Query q[maxm];

void init(){

  for(int i = 1; i < maxn; ++i){

    f[i].id = i;

    for(int j = i; j < maxn; j += i)

      f[j].val += i;

  }

  sort(f+1, f + maxn);

}

int sum[maxn];

void add(int x, int val){

  while(x < maxn){

    sum[x] += val;

    x += lowbit(x);

  }

}

int query(int x){

  int ans = 0;

  while(x){

    ans += sum[x];

    x -= lowbit(x);

  }

  return ans;

}

int ans[maxn];

int solve(int n, int m){

  if(n > m)  swap(n, m);

  int ans = 0;

  for(int i = 1, det; i <= n; i = det + 1){

    det = min(n/(n/i), m/(m/i));

    ans += (query(det) - query(i-1)) * (n/i) * (m/i);

  }

  return ans & 2147483647;

}

void update(int x, int val){

  for(int i = x, j = 1; i < maxn; i += x, ++j)

    add(i, mu[j] * val);

}

int main(){

  Moblus();

  init();

  int T;  scanf("%d", &T);

  for(int i = 0; i < T; ++i){

    scanf("%d %d %d", &q[i].n, &q[i].m, &q[i].a);

    q[i].id = i;

  }

  sort(q, q + T);

  int j = 1;

  for(int i = 0; i < T; ++i){

    while(f[j].val <= q[i].a)  update(f[j].id, f[j].val), ++j;

    ans[q[i].id] = solve(q[i].n, q[i].m);

  }

  for(int i = 0; i < T; ++i)  printf("%d\n", ans[i]);

  return 0;

}

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