算法新手,刷力扣遇到这题,搞了半天终于搞懂了,来这记录一下,欢迎大家交流指点。
题目描述:
给你一个整数数组 nums ,找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列是由数组派生而来的序列,删除(或不删除)数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如,[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
解法一:暴力递归
不解释,先暴力搞一下。(时间复杂度O(n^3),不行)
1 class Solution { 2 public: 3 int l(vector<int>& nums) { // 返回以nums[0]开头的最长递增序列长度 4 if (nums.size() < 2) 5 return nums.size(); 6 int max_len = 1; 7 for (int i = 1; i < nums.size(); ++ i) 8 if (nums[i] > nums[0]) { 9 vector<int> t{nums.begin() + i, nums.end()}; 10 max_len = max(max_len, l(t) + 1); 11 } 12 return max_len; 13 } 14 int lengthOfLIS(vector<int>& nums) { // 所有序列遍历一遍 15 int max_len = 1; 16 for (i = 0; i < nums.size(); ++ i) { 17 vector<int> t(nums.begin() + i, nums.end()); 18 max_len = max(max_len, l(t)); 19 } 20 return max_len; 21 } 22 };
小优化一下,记忆化搜索。(还是不行,时间复杂度还是太高)
1 class Solution { 2 public: 3 int l(unordered_map<int, int>& map, vector<int>& nums) { 4 if (nums.size() < 2) 5 return nums.size(); 6 if (map.find(nums[0]) != map.end()) // 如果已经知道了以某个数开头的元素的最长序列数,直接返回 7 return map[nums[0]]; 8 int max_len = 1; 9 for (int i = 1; i < nums.size(); ++ i) 10 if (nums[i] > nums[0]) { 11 vector<int> t{nums.begin() + i, nums.end()}; 12 max_len = max(max_len, l(map, t) + 1); 13 } 14 map[nums[0]] = max_len; // 记录以某个数开头的最长递增序列长度 15 return max_len; 16 } 17 int lengthOfLIS(vector<int>& nums) { 18 int max_len = 1; 19 unordered_map<int, int> map; // 哈希表,<开头的数,最长递归序列长度> 20 for (int i = 0; i < nums.size(); ++ i) { 21 vector<int> t(nums.begin() + i, nums.end()); 22 max_len = max(max_len, l(map, t)); 23 } 24 return max_len; 25 } 26 };
解法二:动态规划
看来暴力是不行滴,还得动态规划。(时间复杂度O(n^2),AC了)
1 class Solution { 2 public: 3 int lengthOfLIS(vector<int>& nums) { 4 vector<int> dp(nums.size(), 0); // 记录以nums[i]为结尾的最长递增子序列长度 5 for (int i = 1; i < nums.size(); ++ i) 6 for (int j = 0; j < i; ++ j) // 找一个最长的递增序列,接到它后面 7 if (nums[j] < nums[i]) 8 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1); 9 return *max_element(dp.begin(), dp.end()) + 1; 10 } 11 };
解法三:动态规划 + 二分查找
动态规划方法是可行的,但是O(n^2)的时间复杂度还是较高,使用二分查找方法可以进一步优化。(时间复杂度O(nlogn),大提升)
1 class Solution { 2 public: 3 int lengthOfLIS(vector<int>& nums) { 4 vector<int> dp(1, *nums.begin()); // 维护一个数组,用来存放最长的递增子序列 5 int left = 0, right = 0, mid = 0; 6 for (int i = 1; i < nums.size(); ++ i) { // 遍历一遍nums寻找每个元素在最长子序列中的插入位置 7 if (nums[i] > *(dp.end() - 1)) { // 如果当前元素比序列中所有元素都大,直接插到末尾 8 dp.push_back(nums[i]); 9 continue; 10 } 11 left = -1; // 否则的话,替换掉序列中第一个大于等于它的元素,这样可以保证得到最长的递增序列 12 right = dp.size(); 13 while (left + 1 != right) { 14 mid = (left + right) / 2; 15 if (dp[mid] >= nums[i]) 16 right = mid; 17 else 18 left = mid; 19 } 20 dp[right] = nums[i]; 21 } 22 return dp.size(); 23 } 24 };