2440: [中山市选2011]完全平方数
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Description
小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？
Input
包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。
Output
含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。
Sample Input
4
1
13
100
1234567
1
13
100
1234567
Sample Output
1
19
163
2030745
19
163
2030745
HINT
对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9, T ≤ 50
求第k个无平方因子数
二分这个数mid
小于sqrt(mid)的质数都可能成为平方因子,而一个数位平方因子数必定含有一个质数的组合(不一定是几个质数)的平方
根据容斥原理，[1,mid]中无平方因子数的个数为
- 0个质数乘积的平方的倍数的数的数量(1的倍数)
- -每个质数的平方的倍数的数的数量(9的倍数,25的倍数,...)
- +每2个质数乘积的平方的倍数的数的数量(36的倍数,100的倍数,...)-...
也就是容斥原理的变种“奇负偶正”
对于质因子的组合p，它的倍数的个数为mid/(p*p)
只有质因子的次数都是1才会用到，正好是莫比乌斯函数.....
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=;
inline int read(){
char c=getchar();ll x=,f=;
while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}
while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}
return x*f;
}
int n;
bool notp[N];
int p[N],mu[N];
void sieve(){
mu[]=;
for(int i=;i<=N-;i++){
if(!notp[i]) p[++p[]]=i,mu[i]=-;
for(int j=;j<=p[]&&i*p[j]<=N-;j++){
int t=i*p[j];
notp[t]=;
if(i%p[j]==){
mu[t]=;
break;
}
mu[t]=-mu[i];
}
}
}
int cal(int x){
int ans=,m=sqrt(x);
for(int i=;i<=m;i++) ans+=x/(i*i)*mu[i];
return ans;
}
int sol(){
int l=n,r=n<<,ans=-;
while(l<=r){
ll mid=l+((r-l)>>),sum=cal(mid);//printf("hi %d %d\n",mid,sum);
if(sum<n) l=mid+;
else ans=mid,r=mid-;
}
return ans;
}
int main(){
sieve();
int T=read();
while(T--){
n=read();
printf("%d\n",sol());
}
}