上篇博文介绍了CRF的标记序列的概率计算，本片博文专注于CRF的参数学习问题和序列解码问题。

CRF模型参数学习思路

在CRF模型参数学习问题中，我们给定训练数据集$X$X和对应的标记序列$Y$Y，$K$K个特征函数$f_k(x,y)$fk​(x,y),需要学习CRF的模型参数$w_k$wk​和条件概率$P_w(y|x)$Pw​(y∣x)其中条件概率$P_w(y|x)$Pw​(y∣x)和模型参数$w_k$wk​满足一下关系：
$P_w(y|x) = P(y|x) = \frac{1}{Z_w(x)}exp\sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(x,y) = \frac{exp\sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(x,y)}{\sum\limits_{y}exp\sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(x,y)}$Pw​(y∣x)=P(y∣x)=Zw​(x)1​expk=1∑K​wk​fk​(x,y)=y∑​expk=1∑K​wk​fk​(x,y)expk=1∑K​wk​fk​(x,y)​
所以我们的目标就是求出所有的模型参数$w_k$wk​，这样条件概率$P_w(y|x)$Pw​(y∣x)可以从上式计算出来。求解这个问题有很多思路，比如梯度下降法，牛顿法，拟牛顿法,下面我们只简要介绍用梯度下降法的求解思路。

CRF模型参数学习之梯度下降法求解

在使用梯度下降法求解模型参数之前，我们需要定义我们的优化函数，一般极大化条件分布$P_w(y|x)$Pw​(y∣x)的对数似然函数如下：
　$L(w)= log\prod_{x,y}P_w(y|x)^{\overline{P}(x,y)} = \sum\limits_{x,y}\overline{P}(x,y)logP_w(y|x)$　L(w)=logx,y∏​Pw​(y∣x)P(x,y)=x,y∑​P(x,y)logPw​(y∣x)　其中，$\overline{P}(x,y)$P(x,y)为经验分布，可以从先验知识和训练集样本中得到,为了使用梯度下降法，我们现在极小化$f(w) = -L(P_w)$f(w)=−L(Pw​)，具体求解如下：
　$\begin{aligned}f(w) & = -\sum\limits_{x,y}\overline{P}(x,y)logP_w(y|x) \\ &= \sum\limits_{x,y}\overline{P}(x,y)logZ_w(x) - \sum\limits_{x,y}\overline{P}(x,y)\sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(x,y) \\& = \sum\limits_{x}\overline{P}(x)logZ_w(x) - \sum\limits_{x,y}\overline{P}(x,y)\sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(x,y) \\& = \sum\limits_{x}\overline{P}(x)log\sum\limits_{y}exp\sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(x,y) - \sum\limits_{x,y}\overline{P}(x,y)\sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(x,y) \end{aligned}$　f(w)​=−x,y∑​P(x,y)logPw​(y∣x)=x,y∑​P(x,y)logZw​(x)−x,y∑​P(x,y)k=1∑K​wk​fk​(x,y)=x∑​P(x)logZw​(x)−x,y∑​P(x,y)k=1∑K​wk​fk​(x,y)=x∑​P(x)logy∑​expk=1∑K​wk​fk​(x,y)−x,y∑​P(x,y)k=1∑K​wk​fk​(x,y)​　
　对$w$w求导可以得到：
　$\frac{\partial f(w)}{\partial w} = \sum\limits_{x,y}\overline{P}(x)P_w(y|x)f(x,y) - \sum\limits_{x,y}\overline{P}(x,y)f(x,y)$　∂w∂f(w)​=x,y∑​P(x)Pw​(y∣x)f(x,y)−x,y∑​P(x,y)f(x,y)　
　有了$w$w的导数表达式，就可以用梯度下降法来迭代求解最优的$w$w了，以上就是CRF模型参数学习之梯度下降法求解思路总结。

CRF模型维特比算法解码思路

CRF的标记序列解码问题，是指给定条件随机场的条件概率$P(y|x)$P(y∣x)和一个观测序列$x$x,要求出满足$P(y|x)$P(y∣x)最大的序列$y$y。维特比算法本身是一个动态规划算法，利用了两个局部状态和对应的递推公式，从局部递推到整体，进而得解。对于具体不同的问题，仅仅是这两个局部状态的定义和对应的递推公式不同而已。
对于我们CRF中的维特比算法，我们的第一个局部状态定义为$\delta_i(l)$δi​(l)，表示在位置$i$i标记$l$l各个可能取值$(1,2...m)$(1,2...m)对应的非规范化概率的最大值。之所以用非规范化概率是因为规范化因子$Z(x)$Z(x)不影响最大值的比较。根据$δ_i(l)$δi​(l)的定义，我们递推在位置$i+1$i+1标记$l$l的表达式为：
$\delta_{i+1}(l) = \max_{1 \leq j \leq m}\{\delta_i(j) + \sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(y_{i} =j,y_{i+1} = l,x,i)\}\;, l=1,2,...m$δi+1​(l)=1≤j≤mmax​{δi​(j)+k=1∑K​wk​fk​(yi​=j,yi+1​=l,x,i)},l=1,2,...m
此外，我们需要用另一个局部状态$\Psi_{i+1}(l)$Ψi+1​(l)来记录使$\delta_{i+1}(l)$δi+1​(l)达到最大的位置$i$i的标记取值,这个值用来最终回溯最优解，$\Psi_{i+1}(l)$Ψi+1​(l)的递推表达式为：
$\Psi_{i+1}(l) = arg\;\max_{1 \leq j \leq m}\{\delta_i(j) + \sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(y_{i} =j,y_{i+1} = l,x,i)\}\; ,l=1,2,...m$Ψi+1​(l)=arg1≤j≤mmax​{δi​(j)+k=1∑K​wk​fk​(yi​=j,yi+1​=l,x,i)},l=1,2,...m
以上就是CRF的序列解码的基本思想，总结来说，CRF的三个基本问题：标记序列的概率计算–前向后向算法，参数学习问题–梯度下降法，序列解码问题–维特比算法，其中前向后向算法和维特比算法有着异曲同工之妙，都是基于动态规划的思想。这里所述CRF的三个基本问题其实在BI-LSTM-CRF中都有涉及，在训练的过程中涉及到参数的学习，计算总路径得分就用到了类似于前向后向的算法思想，值得注意的是，BI-LSTM-CRF中并不涉及到特征函数和权重，只需要学习到一个状态转移矩阵即可，但所用思想都是一样的。

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