用线性回归模型进行预测常见问题：
1.实际数据可能不是线性的；如下图的模型：
安斯库姆四重奏里的四个不同的数据集，用线性回归模型拟合出来的直线相同，这些数据的均值方差都相同，为了看出拟合的效果，我们会利用R^2等指标进行模型诊断。
2.多重共线性（一些特征向量之间线性相关）：
解决办法：正则化、主成分回归、偏最小二乘回归。
3.过度拟合问题：
当模型变量过多时，线性回归可能会出现过度拟合问题，例如在房价预测问题中，假设x表示房屋面积，如果将x^2，x^3等独立变量引入可能会出现如下情况：
4.优化泛化误差：
噪音（noise）：无法变小
偏差（bias）：模型依靠自身能力进行预测的平均准确程度
方差（variance）：模型在不同训练集上表现出来的差异程度
正则化：减小线性回归的过度拟合和多重共线性等问题
当q = 1 ：LASSO Regression ；q = 2：岭回归（Ridge Regression）。
岭回归（Ridge Regression）：
思路：在最小二乘法的目标函数上加上一个对w的惩罚函数
线性回归的目标函数：
岭回归的目标函数：
直接对w求导并令梯度等于0 易得
岭迹分析：
当不断增大正则化参数lambda，估计参数（也称岭回归系数）在坐标系上的变化曲线成为岭迹；当岭迹波动很大时，说明该变量有共线性。
一个二元岭回归的结果：
根据岭迹图做超参数lambda的选择，lambda在（0,0.5）的范围内波动较大，故需加入正则化项重新进行参数估计，可选lambda=1，一般认为是的w1和w2比较稳定时的lambda比较好。
岭回归参数：
alpha：正则化强度，即正则化参数lambda
fit_intercept：是否计算截距，默认为True
LASSO回归：
LASSO是一种系数压缩估计方法，基本思想是通过追求稀疏性自动选择重要的变量；
LASSO的目标函数：
LASSO的解没有解析表达式，常用的求解算法包括坐标下降法、LARS算法和ISTA算法等。
岭回归和LASSO回归如何寻求最优解？（惩罚函数（绿色） 目标函数（橙色））
如上图：图中绿色区域表示约束区域，黄色线为残差平方和函数的等高线；
通过添加L1惩罚函数，LASSO回归可以得到角点解，即稀疏的最优解w，此时w=0，我们可以将对应的变量从模型中删除。
正则化路径图：
随着lambda增大，LASSO的变量系数逐个减小为0，适合做特征选择；而岭回归变量系数几乎同时趋近于0。
LASSO回归参数：
alpha：正则化强度，即正则化参数lambda
fit_intercept：是否计算截距，默认为True
弹性网络回归（ElasticNet Regression）：
综合岭回归与LASSO回归，适应复杂多样的数据集；
弹性网络目标函数：
弹性回归回归参数：
alpha：正则化强度，即正则化参数lambda
l1_retio：弹性网络混合参数，即参数ρ，若为0，则正则化项只有L2范数，若为1，则只有L1范数，若属于（0,1）则为L2和L1范数的混合
fit_intercept：是否计算截距，默认为True
对预测医疗保险费用的数据集应用岭回归，输出训练集/测试集决定系数
from sklearn,linear_model import Ridge
rid = Ridge(alpha = 20)
rid.fit(x_train,y_train)
print("训练集决定系数： %s” %round(rid.score(x_train,y_train),4))
print("测试集决定系数： %s” %round(rid.score(x_test,y_test),4))
为了做出岭迹图，首先整合各惩罚系数下的各自变量系数，log（alpha）表示惩罚系数的对数值。
发现smoker系数相对其他系数过大，导致无法观测各系数的收敛情况，如下左图，对各系数作如下处理，可得下右图：
处理：log_coef = np.sign(coef)*np.log(np.abs(coef)+1)
LASSO回归：
from sklearn.linear_model import Lasso
las = Lasso(alpha=0.1)
las.fit(x_train,y_train)
print("训练集决定系数 %s” %round(las.score(x_train,y_train),4))
print("测试集决定系数 %s” %round(las.score(x_test,y_test),4))
弹性网络回归：
from skleanr.linear_model import ElasticNet En = ElasticNet(alpha=1,l1_ratio=0.5) EN.fit(x_train,y_train)
print("训练集决定系数 %s” %round(las.score(x_train,y_train),4))
print("测试集决定系数 %s” %round(las.score(x_test,y_test),4))