[USACO20FEB]Help Yourself P 题解

可以维护每一个次方的结果然后用二项式定理计算答案。

时间复杂度 O ( N × K × log ⁡ 2 ( n ) + N × K 2 ) O(N\times K\times \log_2(n)+N\times K^2) O(N×K×log2​(n)+N×K2)。吐槽一下usaco的评测机，本机 0.8 s 0.8s 0.8s 但usaco上TLE，洛谷AC。

/*
{
######################
#       Author       #
#        Gary        #
#        2020        #
######################
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define rb(a,b,c) for(int a=b;a<=c;++a)
#define rl(a,b,c) for(int a=b;a>=c;--a)
#define LL long long
#define IT iterator
#define PB push_back
#define II(a,b) make_pair(a,b)
#define int unsigned int
#define FIR first
#define SEC second
#define FREO freopen("check.out","w",stdout)
#define rep(a,b) for(int a=0;a<b;++a)
#define SRAND mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count())
#define random(a) rng()%a
#define ALL(a) a.begin(),a.end()
#define POB pop_back
#define ff fflush(stdout)
#define fastio ios::sync_with_stdio(false)
#define check_min(a,b) a=min(a,b)
#define check_max(a,b) a=max(a,b)
using namespace std;
int read(){
    int x=0;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return x;
}
const int INF=0x3f3f3f3f;
typedef pair<int,int> mp;
/*}
*/
const int MAXN=100000+20;
const int MAXK=11;
const int MOD=1e9+7;
int n,k;
vector<vector<int> > c;
vector<int> pow2;
vector<int> dp;
void add(int & A,int B){
	A+=B;
	if(A>=MOD) A-=MOD; 
}
void mul(int & A,int B){
	A=1ll*A*B%MOD;
}
const int N=1<<17;
struct SEGMENTTREE{
	vector<int> tree,addtag,multag;
	SEGMENTTREE(){
		tree.resize(N+N);
		multag.resize(N+N);
		addtag.resize(N+N);
	}
	void pd(int now){
		if(multag[now]!=0){	
			mul(tree[now],pow2[multag[now]]);
			if(now<N){
				mul(addtag[now<<1],pow2[multag[now]]);
				mul(addtag[now<<1|1],pow2[multag[now]]);
				multag[now<<1]+=multag[now];
				multag[now<<1|1]+=multag[now];
			}
		}
		if(addtag[now]!=0){
			add(tree[now],addtag[now]);
			if(now<N){
				add(addtag[now<<1],addtag[now]);
				add(addtag[now<<1|1],addtag[now]);
			}
		}
		multag[now]=0;
		addtag[now]=0;
	}
	int query(int a,int b,int now=1,int l=1,int r=N+1){
		pd(now);
		if(r<=b&&l>=a){
			return tree[now];
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		int tmp=0;
		if(mid>a) add(tmp,query(a,b,now<<1,l,mid));
		if(mid<b) add(tmp,query(a,b,now<<1|1,mid,r));
		return tmp;
	}
	void Mul(int a,int b,int now=1,int l=1,int r=N+1){
		if(r<=a||l>=b){
			pd(now);
			return ;
		}
		if(r<=b&&l>=a){
			multag[now]++;
			pd(now);
			return;
		}
		pd(now);
		int mid=(l+r)>>1;
		Mul(a,b,now<<1,l,mid);
		Mul(a,b,now<<1|1,mid,r);
		tree[now]=tree[now<<1];
		add(tree[now],tree[now<<1|1]);
	}
	void Add(int a,int val,int now=1,int l=1,int r=N+1){
		while(true){
			if(l==r-1){
				add(addtag[now],val);
			}
			pd(now);
			if(l==r-1) break;
			int mid=(l+r)>>1;
			if(mid>a){
				r=mid;
				now<<=1;
			}
			else{
				l=mid;
				now=now<<1|1;
			}
		}
		while(now!=1){
			pd(now^1);
			now>>=1;
			tree[now]=tree[now<<1];
			add(tree[now],tree[now<<1|1]);
		}
	}
}valpre[MAXK],dppre[MAXK];
vector<mp> seg;
vector<int> lisan;
signed main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	seg.resize(n);
	rep(i,n){
		seg[i].FIR=read();
		seg[i].SEC=read();
	}
	sort(ALL(seg));
	dp.resize(k+1);
	pow2.resize(n*k+1);
	c=vector<vector<int> > (k+1,vector<int> (k+1,0));
	c[0][0]=1;
	rb(i,0,k)
		rb(j,0,k){
			if((!i)&&(!j)) continue;
			if(i) c[i][j]=c[i-1][j];
			if(j&&i) add(c[i][j],c[i-1][j-1]);
		}
	pow2[0]=1;
	rb(i,1,n*k) pow2[i]=pow2[i-1]<<1,pow2[i]-=(pow2[i]>=MOD? MOD:0);
	rep(i,n)
		lisan.PB(seg[i].SEC);
	sort(ALL(lisan));
	rep(i,n){
		seg[i].FIR=lower_bound(ALL(lisan),seg[i].FIR)-lisan.begin()+1;
		seg[i].SEC=lower_bound(ALL(lisan),seg[i].SEC)-lisan.begin()+1;
	}
	int val,i,j,z;
	for(i=0;i<n;++i){
		for(j=0;j<=k;++j){
			val=0;
			dp[j]=0;
			valpre[j].Mul(seg[i].SEC+1,N+1);
			dppre[j].Mul(seg[i].SEC+1,N+1);
			if(seg[i].FIR!=1)
				add(dp[j],valpre[j].query(1,seg[i].FIR));
			add(dp[j],1);
			if(seg[i].FIR!=seg[i].SEC)
				add(dp[j],dppre[j].query(seg[i].FIR,seg[i].SEC));
			for(z=0;z<=j;++z){
				add(val,1ll*dp[z]*c[j][z]%MOD);
			}
			valpre[j].Add(seg[i].SEC,val);
			dppre[j].Add(seg[i].SEC,dp[j]);
		}
	}
	printf("%d\n",dppre[k].query(1,2*n+1));
	return 0;
}