题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/AT2165
给出一个 \(n\) 层的方格金字塔,自顶向下依次标号为第 \(1\) 到第 \(n\) 层。
其中第 \(i(1 \le i \le n)\) 层有 \(2i − 1\) 个方格。（具体形态见下面的图）
第 \(n\) 层有一个 \(1\) 到 \(2n-1\) 的排列,其他层的数字按以下规则生成：方格 b 中填写的整数,是方格 b 正下方,左下方和右下方方格中所写整数的中位数。
现在给出第 \(n\) 层的数字，请你求第一层的数字。

思路

注意下文的 \(n\) 等于原题中 \(2n-1\)。
可以二分答案，然后套路性装换为 \(01\) 序列。
假设转换为 \(01\) 序列之后，离中间最近的相邻两个数字相同的是位置 \(i\)。不妨设 \(\frac{n}{2} \leq i\) 且 \(a[i]=a[i+1]=1\)。
那么显然上一行的位置 \(i\) 和 \(i+1\) 均是 \(1\)，而且位置 \(i-1\) 也应该是 \(1\)，否则必然有 \(a[i-1]=a[i-2]=0\)，那么就不满足 \(a[i]\) 与 \(a[i+1]\) 是最接近中间点的。
所以第一行的值就是距离 \(\frac{n}{2}\) 最近的相邻数字相等的数值。因为有奇数列且每一个位置均为 \(01\)，所以不会出现距离相等的情况。
但是有一种特殊情况，就是相邻数字均不相等，那么第一行数值就是最后一行第一个位置的数值。
如果第一行为 \(1\) 说明答案不小于 \(mid\)，否则答案小于 \(mid\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=200010;
int n,l,r,mid,a[N];

bool check(int k)
{
	int m=n/2+1;
	for (int i=0;i<n/2;i++)
	{
		if (a[m+i]<k && a[m+i+1]<k) return 0;
		if (a[m-i]<k && a[m-i-1]<k) return 0;
		if (a[m+i]>=k && a[m+i+1]>=k) return 1;
		if (a[m-i]>=k && a[m-i-1]>=k) return 1;
	}
	return a[1]>=k;
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	n=n*2-1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	l=1; r=n;
	while (l<=r)
	{
		mid=(l+r)>>1;
		if (check(mid)) l=mid+1;
			else r=mid-1;
	}
	printf("%d",l-1);
	return 0;
}