概率论 - 随机变量的函数

1 随机变量的函数的分布

定理 设随机变量 \(X\) 具有概率密度 \(f_X(x),-\infin<x<\infin\) ，设函数 \(g(x)\) 处处可导且恒有 \(g(x)>0\) （或 \(g(x)<0\)），则 \(Y=g(X)\) 是连续型随机变量，其概率密度为

\[f_Y(y)=\begin{cases} f_X[h(y)]h'(y), & \alpha < y < \beta \\ 0, & 其它 \end{cases} \]

其中，\(\alpha =\min \{g(-\infin),g(\infin)\},\beta=max\{g(-\infin),g(\infin)\}\) ，\(h(y)\) 是 \(g(x)\) 的反函数。

证明：
假设 \(g(x)>0\) ，\(F_X(x)=P(X<x)\)，\(F_Y(y)=P(Y<y)=P(g(X)<y)=P(X<h(y))=F_X(h(y))\) ，故 \(f_Y(y)=F_Y'(y)=F_X(h(y))h'(y)\) 。
再假设 \(g(x)<0\) ，可得 \(F_Y(y)=P(X>h(y))=1-P(X<h(y))=1-F_X(h(y))\) ，即 \(f_Y(y)=-F_X(h(y))h'(y)\)，
再有 \(\alpha <g(x)< \beta\) ，故 \(\alpha < y < \beta\) 。得证。

理解：实际在求随机变量的函数的分布时，可以按照证明过程来求。

2 两个随机变量的函数的分布

2.1 \(Z=X+Y\)

设 \((X,Y)\) 具有概率密度 \(f(x,y)\) ，\(F_Z(z)=P(Z<z)=P(X+Y<z)=\underset{x+y<z}{\iint} f(x,y)\text{d}x\text{d}y=\int_{-\infin}^{\infin}\text{d}x\int_{-\infin}^{z-x}f(x,y)\text{d}y=\int_{-\infin}^{\infin}\text{d}x\int_{-\infin}^{z}f(x,u-x)\text{d}u=\int_{-\infin}^{z}\int_{-\infin}^{\infin}f(x,u-x)\text{d}x\text{d}u\) ，故 \(f_Z(z)=\int_{-\infin}^{\infin}f(x,z-x)\text{d}x\) ，类似可得 \(f_Z(z)=\int_{-\infin}^{\infin}f(z-y,y)\text{d}y\) 。

3 随机变量的函数的数字特征

3.1 数学期望

定理 设 \(Y\) 是随机变量 \(X\) 的函数：\(Y=g(X)\) ，（ \(g\) 是连续函数）

1. 如果 \(X\) 是离散型变量，分布律为 \(P(X=x_k)=p_k,k=1,2,...\) ，若 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infin}g(x_k)p_k\) 绝对收敛，则有

\[E(Y)=E[g(X)]=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infin}g(x_k)p_k \]

2. 如果 \(X\) 是连续型变量，概率密度为 \(f(x)\) ，若 \(\int_{-\infin}^{\infin}g(x)f(x)\text{d}x\) 绝对收敛，则有

\[E(Y)=E(g(X))=\int_{-\infin}^{\infin}g(x)f(x)\text{d}x \]

特点：将对应的期望计算式中的 \(x\) 替换成 \(g(x)\) 即可。

3.2 方差

方差根据期望计算即可。

4 例子

例一：（2020考研数学一）设 \(X\) 服从区间 \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) 上的均匀分布， \(Y=sin X\) ，则 $Cov(X,Y)=(?) $
解：\(Cov(X,Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\} ，\)\(E(X)=0\)，\(E(Y)=E(\sin X)=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin x \frac{1}{\pi}\text{d}x=0\) ，即 \(Cov(X,Y)=E(XY)=E(X\sin X)=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}x\sin x \cdot \frac{1}{\pi}\text{d}x=\frac{2}{\pi}\)