浅谈网络流Dinic算法
本篇随笔简单讲解一下网络流中的Dinic算法。
一、前置知识
一些基本定义
1、弧：网络上的有向边被称作弧。弧分为前向弧和后向弧。前向弧就是题目中给出的有向边，后向弧就是我们所建立的反边。
这样地、弧就有了容量、流量、零流弧、饱和弧这些建立在网络流边上的定义。
2、链：网络的一条顶点序列被称作链。注意，只要是相连的顶点序列就可以，不一定要求弧的方向相同。所以一条链中既有前向弧，又有后向弧。
二、Dinic算法的原理
其大致步骤大致为：
在网络上通过\(BFS\)为其划分层次。层次在我理解中，是和深度差不多的概念。但是深度只在树上划分，而层次就是图上的。我们可以理性地将其理解为从源点到此处的最短路。
但是这个层次划分是有条件的，我们要求所有的点必须可达，也就是从源点到它的链上不能有零流弧。
然后再用DFS寻找。
这个算法的时间复杂度最坏是\(O(n^2m)\)。
其时空复杂度的优化主要是因为这个“分层”。分层操作预处理出所有点到源点的距离，所以我们增广的时候，只向层数高的地方增广，可以保证不走回头路，不绕圈，这样就排除了很多冗余搜索，大大提升时空复杂度。
三、Dinic算法的优化
Dinic算法的优化方式有两种，第一种是多路增广，第二种是当前弧优化。
理论复杂度是\(O\)(可过)——LLQ
多路增广
我们可以使用多路增广节省很多花在重复路线上的时间：在某点DFS找到一条增广路后，如果还剩下多余的流量未用，继续在该点DFS尝试找到更多增广路。
当前弧优化
在Dinic算法中，一条边增广一次后就不会再次增广了，所以下次增广时不需要再考虑这条边。我们把head数组复制一份，但不断更新增广的起点。