证明不等式: $$\bex 1+x\ln\sex{x+\sqrt{1+x^2}}>\sqrt{1+x^2},\quad x>0. \eex$$

证明: 令 $x=\tan t,\ 0<t<\cfrac{\pi}{2}$, 而只要证明 $$\bex 1+\tan t\ln\sex{\sec t+\tan t}>\sec t. \eex$$ 令 $$\bex f(t)=1+\tan t\ln\sex{\sec t+\tan t}-\sec t, \eex$$ 则 $f(0)=0$, $f'(t)=\sec^2t \ln(\sec t+\tan t)>0$. 于是 $f$ 递增, 而 $f(t)>0$, $t>0$.