【题目】#6392. 「THUPC2018」密码学第三次小作业 / Rsa

【题意】T次询问，给定正整数c1,c2,e1,e2,N，求正整数m满足：

\(c_1=m^{e_1} \ \ mod \ \ N\)

\(c_2=m^{e_2} \ \ mod \ \ N\)

保证\(c_1,c_2,e_1,e_2 \leq N,2^8 < N < 2^{63},T \leq 10^4,(e_1,e_2)=1,(m,N)=1\)。

【算法】扩展欧几里得算法

我们最终要求\(m\)，而已知\(m^{e_1}\)和\(m^{e_2}\)，容易考虑辗转相除法。每次将\((e_1,e_2)\)更新为\((e_2,e_1 \% e_2)\)，那么值的变化就是从\((c_1,c_2)\)更新为\((c_2,\frac{c_1}{c_2^{e_1/ e_2}})\)。这样辗转相除到\(e_2=0\)为止，此时\(c_1\)就是答案。

过程中要注意：long long范围内的乘法要用快速乘（包括快速幂）。由于不保证N是素数所以不能用费马小定理，必须用扩欧求解逆元。

复杂度\(O(T \ \ log^3n)\)。

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#define ll long long

using namespace std;

ll n,e1,e2,c1,c2;

ll M(ll x){return x>=n?x-n:x;}

ll pows(ll x,ll k){ll ans=0;while(k){if(k&1)ans=M(ans+x);x=M(x+x);k>>=1;}return ans;}

ll power(ll x,ll k){ll ans=1;while(k){if(k&1)ans=pows(ans,x);x=pows(x,x);k>>=1;}return ans;}

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){if(!b){x=1;y=0;}else{exgcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);}}

ll inv(ll a){ll x,y;exgcd(a,n,x,y);return (x%n+n)%n;}

void gcd(ll a,ll b){

	if(!b)return;else{swap(c1,c2);c2=pows(c2,inv(power(c1,a/b)));gcd(b,a%b);}

}

int main(){

	int T;scanf("%d",&T);

	while(T--){

		scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&c1,&c2,&e1,&e2,&n);

		gcd(e1,e2);

		printf("%lld\n",c1);

	}

	return 0;

}

然后看了官方正解后发现，这种做法的本质就是扩展欧几里得算法。由于：

$$m^1=m{e_1s+e_2t}=(m^{e_1})s*(m^{e_2})t=(c_1)^s*(c_2)t$$

于是用扩展欧几里得算法解出s和t，然后快速幂计算即可（负数先算逆元再快速幂）。