题目链接：http://www.bnuoj.com/bnuoj/contest_show.php?cid=3570#problem/43573

C. 组合数

Input

Output

Sample Input

1 0

2 1

3 2

Sample Output

1

0

1

数论问题：对组合数，若n&k==k则为奇数，否则则为偶数。

证明例如以下：

 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列(即排序)。 (P是旧使用方法，如今教材上多用A，Arrangement)

  公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。
组合数的奇偶性判定方法为:

  结论：

  对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数，否则为偶数。

  证明：

  利用数学归纳法：

  由C(n,k) = C(n,k-1) + C(n-1,k-1);

  相应于杨辉三角：

  1

  1 2 1

  1 3 3 1

  1 4 6 4 1

  ………………

  能够验证前面几层及k = 0时满足结论，以下证明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k > 0) 满足结论的情况下，

  C(n,k)满足结论。

  1).如果C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为奇数：

  则有：(n-1)&k == k;

  (n-1)&(k-1) == k-1;

  由于k和k-1的最后一位(在这里的位指的是二进制的位，下同)必定是不同的，所以n-1的最后一位必定是1

  。

  现如果n&k == k。

  则相同由于n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。

  由于n-1的最后一位是1，则n的最后一位是0，所以n&k != k，与如果矛盾。

  所以得n&k != k。

  2).如果C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为偶数：

  则有：(n-1)&k != k;

  (n-1)&(k-1) != k-1;

  现如果n&k == k.

  则对于k最后一位为1的情况：

  此时n最后一位也为1，所以有(n-1)&(k-1) == k-1，与如果矛盾。

  而对于k最后一位为0的情况：

  则k的末尾必有一部分形如：10; 代表随意个0。

  相应的，n相应的部分为： 1{*}*; *代表0或1。

  而若n相应的{*}*中仅仅要有一个为1，则(n-1)&k == k成立，所以n相应部分也应该是10。

  则相应的，k-1和n-1的末尾部分均为01,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立，与如果矛盾。

  所以得n&k != k。

  由1)和2)得出当C(n,k)是偶数时，n&k != k。

  3).如果C(n-1,k)为奇数而C(n-1,k-1)为偶数：

  则有：(n-1)&k == k;

  (n-1)&(k-1) != k-1;

  显然，k的最后一位仅仅能是0，否则由(n-1)&k == k就可以推出(n-1)&(k-1) == k-1。

  所以k的末尾必有一部分形如：10;

  相应的，n-1的相应部分为： 1{*}*;

  相应的，k-1的相应部分为： 01;

  则若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 则要求n-1相应的{*}*中至少有一个是0.

  所以n的相应部分也就为 ： 1{*}*; (不会由于进位变1为0)

  所以 n&k = k。

  4).如果C(n-1,k)为偶数而C(n-1,k-1)为奇数：

  则有：(n-1)&k != k;

  (n-1)&(k-1) == k-1;

  分两种情况：

  当k-1的最后一位为0时:

  则k-1的末尾必有一部分形如: 10;

  相应的，k的相应部分为 : 11;

  相应的，n-1的相应部分为 : 1{*}0; (若为1{*}1,则(n-1)&k == k)

  相应的，n的相应部分为 : 1{*}1;

  所以n&k = k。

  当k-1的最后一位为1时:

  则k-1的末尾必有一部分形如: 01; (前面的0能够是附加上去的)

  相应的，k的相应部分为 : 10;

  相应的，n-1的相应部分为 : 01; (若为11，则(n-1)&k == k)

  相应的，n的相应部分为 : 10;

  所以n&k = k。

  由3),4)得出当C(n,k)为奇数时，n&k = k。

  综上，结论得证!

证明出自：http://zhidao.baidu.com/link?url=FTCA2X8YsPRIMW7_eiGNnxELJIL4ymgvosNXk0VEA5LbXDNnuxirzBmqtiLjKbG2e9IpXlKpR2jF6fKPSlOL6_

附上代码：

#include<iostream>

#include<algorithm>

#include<cstdio>

#include<cstring>

using namespace std;

int main()

{

    int n,k;

    while(cin>>n>>k)

    {

        long t=n&k;

        if(t==k)

        {

            printf("1\n");

        }

        else

        {

            printf("0\n");

        }

    }

    return 0;

}