欧拉函数：一般记作φ(n)，表示1-n中与n互质的数的数量。
欧拉函数是积性函数，即φ(m*n)=φ(m)*φ(n) //这条定理基友面试时还遇到了= =
欧拉函数的值φ(n)=n*(1-p[1])*(1-p[2])*...*(1-p[n]) //p[i]是小于等于n的所有素数
若n是m的倍数，则小于等于n且与m互质的数的个数为(n/m)*φ(m) //证明不难理解：设k小于等于m且与m互质，则k+m、k+2m......也与m互质
若n是质数p的k次幂，则φ(n)=(p-1)*(p^(k-1))
//关于欧拉函数wikipedia上讲的很详细，此处不赘述了
若a mod b=0，可记作b|a
那么原题的答案就是(n!/m!)*φ(m!)
isprime(n)：计算1-n的质数
calc_fac(n)：计算1-n每个数的阶乘
calc_inv(n)：计算1-n每个数的逆元
calc_eul(n)：计算(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn)
设x[i]=inv(p[i])，那么
(1-1/p[i]) mod m
= ( (1 mod m) - ( (1/p[i]) mod m ) ) mod m
= (m+1-( (1/p) mod m ) mod m
而根据逆元的性质，有(1/p) mod m=x mod m
Reference：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8220787
http://www.cnblogs.com/autsky-jadek/p/4054971.html
附SDOI官方题解：
该题即求1至n!中与m!互质的数对某质数R取模后的值 。
对于每一对数N，M，设p1,p2,……pn为不大于M的质数，题目即求在1至N！中，不包含因子p1,p2,……pn的数的个数。
在1至N！中，p1的倍数有N!/p1个，p2的倍数有n!/p2个……p1p2的倍数有n!/p1p1个……p1p2p3..pkm的倍数有n!/p1p2p3..pkm个。
由容斥定理得答案为：
n!-n!/p1-n!/p2-n!/p2…-n!/pkm+n!/p1p2+n!/p1p3……+(-)^km*n!/p1p2p3…pkm= n!*(-/p1)*(-/p2)*(-/p3)*(-/p4)…*(-/pkm)
记m!* (-/p1)*(-/p2)*(-/p3)*(-/p4)…*(-/pkm)为fi[m]。答案为n!/m!*fi[m]。
根据fi的计算式，可得fi的递推式为
Fi[i]=fi[i-]*i（当i为合数）
Fi[i]=fi[i-]*(i-)（当i为质数） 预处理得所有fi与i!，通过扩展GCD计算除法，可在O(logR)时间内计算得每一个解。
各种卡时限，cin、cout是用不了的，关了同步都不行>_<
#include "cstring"
#include "math.h"
#include "stdio.h"
using namespace std;
#define MMX 10000002
#define LL long long
LL M,N,T,MOD;
LL fa[MMX],inv[MMX],ans2[MMX];
bool pr[MMX]; void isprime(LL n) //pr[i]=1 : i is a prime
{
memset(pr,true,sizeof(pr));
LL m=sqrt(n+0.5);
pr[]=false;
for (LL i=;i<=m;i++)
if (pr[i])
{
for (LL j=i*i;j<=n;j+=i)
pr[j]=false;
}
} void calc_fac(LL n) //fa[i]=i!
{
fa[]=;
for (LL i=;i<=n;i++)
fa[i]=fa[i-]*i%MOD;
} void calc_inv(LL n) //inv[i]
{
inv[] = ;
for(int i=;i<n;i++) //inv[i]:逆元
{
if(i >= MOD) break;
inv[i] = (MOD - MOD / i) * inv[MOD % i] % MOD;
}
} void calc_eul(LL n)
{
ans2[] = ; //ans2[i]=(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pi)
for(LL i=; i<n;i++) //又(1-1/pi)=((pi-1)/pi)
{
if(pr[i])
{
ans2[i] = ans2[i-] * (i - ) % MOD;
ans2[i] = ans2[i] * inv[i % MOD] % MOD;
}
else
{
ans2[i] = ans2[i-];
}
}
} int main()
{
scanf("%d%d",&T,&MOD);
isprime(MMX);
calc_inv(MMX);
calc_fac(MMX);
calc_eul(MMX);
while (T--)
{
scanf("%d%d",&N,&M);
//ans=(N!/M!)*f(M!)
// =N!*[(1-1/p1)*...*(1-1/pi)]
LL ans=fa[N]*ans2[M]%MOD;
printf("%lld\n",ans);
} return ;
}
最后过得好险= =
| 771794 | i386DX | 2186 | Accepted | 244956 kb | 11312 ms | C++/Edit | 1653 B | 2014-11-04 23:34:15 |