1、原理
分为三个阶段:
-Divide:整个问题划分成多个子问题
-Conquer:求解各子问题的解
-Merge:合并子问题的解,形成原始问题的解
2、示例
(1)整数乘法
输入:n位二进制整数X,Y
输出:X、Y的乘积
通常计算X*Y时间复杂性是O(n2),现给出一个时间复杂性为O(n1.59)的算法。
将X,Y表示成X=A2n/2+B,Y=C2n/2+D
则X*Y=(A2n/2+B)*(C2n/2+D)=AC2n+(AD+BC)2n/2+BD
而AD+BC=(A-B)(C-D)+AC+BD。
计算步骤:
- 划分产生A,B,C,D
- 计算A-B,C-D
- 计算n/2位乘法AC,BD,(A-B)(C-D)
- 计算AC+BD+(A-B)(C-D)
- 计算XY
则T(n)=3T(n/2)+O(n)使用master定理得到T(n)=n1.59.
(2)矩阵乘法
输入:两个n*n矩阵AB
输出:A*B
- 通常计算矩阵乘积时间复杂度是O(n3),这里给出一个O(n2.81)的算法。
- 将A、B分为四个子矩阵.
- 计算n/2*n/2的矩阵的10个加减和7个乘法
- 则
所以T(n)=7T(n/2)+O(n2),根据master定理可得T(n)=O(n2.81).
(3)找最近点对
输入:n个点的集合Q(两维)
输出:
Preprocessing:
- 若Q中仅包含一个点,则算法结束;
- 把Q中点分别按照x y坐标值排序
Divide:
- 计算Q中各点的x坐标值的中位数m;
- 用x=m将Q划分成两个点集为QL,QR.
Conquer:
- 递归地在QL,QR中找到最近点对
- 令
Merge:
- 在临界区查找距离小于d的点对
- 若找到,则(pl,qr)是Q中最接近点对,否则(p1,p2)和(q1,q2)中距离最小者为Q中最接近点对
(pl,qr)的搜索方法:
时间复杂度:
T(n)=2T(n/2)+O(n),则T(n)=O(nlogn)
(4)找到convex hull
输入:平面上的n个点的集合Q
输出:CH(Q):Q的凸包。
【注:Q的凸包是一个多边形P,Q的点或者在P上或者在P内,连接P内任意两点的边都在P内】
Graham-scan算法:
时间复杂性分析:
T(n)=2T(n/2)+O(n),则T(n)=O(nlogn)
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1、友谊点对
2、黑白点匹配
3、求反序个数
4、和最大连续子数组
5、找出两个数组的中位数
6、在点集中找到三个点是构成的三角形周长最小
7、求出满足距离要求的点对数
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