微分几何曲线合同

2024-03-25 20:50:04

什么曲线是合同的？

合同的意思是能通过此几何的刚体运动把几何对象彼此变换。也就是说，如果两个曲线是合同的，那么一定存在一个等距变换，能把其中一条曲线变成另一曲线。

怎么证明合同？

由上述对合同的理解可以发现，合同的曲线的形状相同。那么只需要证明两个曲线的曲率和挠率相同即可。

怎么求合同曲线相差的变换？

我们用题目来说明。

已知两条曲线 $C:r=r(t)$ C:r=r(t)和 $C^*:r^*=r^*(u)$ C∗:r∗=r∗(u)的参数方程分别为
$r(t)=(t+\sqrt{3}\sin{t}, 2\cos{t}, \sqrt{3}t-\sin{t}) \\ r^*(u)=(2\cos{u}, 2\sin{u},-2u)$ r(t)=(t+3sint,2cost,3t−sint)r∗(u)=(2cosu,2sinu,−2u)
试证 $C$ C和 $C^*$ C∗是合同的，并确定两条曲线相差的刚体运动。

解：易证 $\kappa=\kappa^*=\frac{1}{4}, \tau=\tau^*=-\frac{1}{4}$ κ=κ∗=41,τ=τ∗=−41，所以 $C$ C和 $C^*$ C∗合同。
下面求相差的变化
【方法一】 目测法
能直接观察出来是最好的。这道题可以比较容易的看出，当 $t=u$ t=u时，有
$(t+\sqrt{3}\sin{t}, 2\cos{t}, \sqrt{3}t-\sin{t}) \\ =(2\cos{t}, 2\sin{t},-2t) \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$ (t+3sint,2cost,3t−sint)=(2cost,2sint,−2t)⎝⎜⎛023−211000−21−23⎠⎟⎞
这个矩阵显然时正交矩阵。
【方法二】 计算 $r(0)$ r(0)和 $r^*(0)$ r∗(0)处的Frenet标架，这两个标架关系就决定了所求的正交变换。
经计算，r(0)处的Frenet标架为
$\begin{cases} \alpha(0)&=\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},0,\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \right) \\ \beta(0)&= (0,-1,0) \\ \gamma(0)&=\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},0,-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \right) \end{cases}$ ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧α(0)β(0)γ(0)=(46+2,0,46−2)=(0,−1,0)=(46−2,0,−46+2)
$r^*(0)$ r∗(0)的Frenet标架为
$\begin{cases} \alpha^*(0)&=\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\\ \beta^*(0)&=\left(-1,0,0 \right)\\ \gamma^*(0)&=\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\\ \end{cases}$ ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧α∗(0)β∗(0)γ∗(0)=(0,22,−22)=(−1,0,0)=(0,22,22)
设 $\begin{pmatrix} \alpha(0) \\ \beta(0) \\ \gamma(0) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \alpha^*(0) \\ \beta^*(0) \\ \gamma^*(0) \end{pmatrix}A$ ⎝⎛α(0)β(0)γ(0)⎠⎞=⎝⎛α∗(0)β∗(0)γ∗(0)⎠⎞A，解得
$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$ A=⎝⎜⎛023−211000−21−23⎠⎟⎞
【方法三】 从参数为0的点出发选三组对应的点
本题可以选 $\{r(\frac{\pi}{4})-r(0),r(\frac{\pi}{2})-r(0), r(\pi)-r(0)\}$ {r(4π)−r(0),r(2π)−r(0),r(π)−r(0)}与 $\{r^*(\frac{\pi}{4})-r^*(0),r^*(\frac{\pi}{2})-r^*(0), r^*(\pi)-r^*(0)\}$ {r∗(4π)−r∗(0),r∗(2π)−r∗(0),r∗(π)−r∗(0)}两个标架，确定其关系亦可确定所要求的变换。

我们来看下一道题

已知两条曲线 $C_1:r=(\ch{t},\sh{t},t)$ C1:r=(cht,sht,t)和 $C_2:r=\left(\frac{e^{-u}}{\sqrt{2}},\frac{e^{u}}{\sqrt{2}},u+1 \right)$ C2:r=(2e−u,2eu,u+1)
试证 $C_1$ C1和 $C_2$ C2是合同的，并确定两条曲线相差的刚体运动。

解：易得 $\kappa_1=\frac{1}{2\ch^2{t}}, \kappa_2=\frac{1}{2\ch^2{u}}, \tau_1=\frac{1}{2\ch^2{t}},\tau_2=\frac{1}{2\ch^2{u}}$ κ1=2ch2t1,κ2=2ch2u1,τ1=2ch2t1,τ2=2ch2u1
当 $t=u$ t=u时， $\kappa_1=\kappa_2, \tau_1=\tau_2$ κ1=κ2,τ1=τ2
下面求刚体运动
【方法一】 可以直接看出
$(\ch{t},\sh{t},t)=\left(\frac{e^{-t}}{\sqrt{2}},\frac{e^{t}}{\sqrt{2}},t+1 \right)\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}+(0,0,-1)$ (cht,sht,t)=(2e−t,2et,t+1)⎝⎛21210−21210001⎠⎞+(0,0,−1)
【方法二】
$C_1$ C1在0处的Frenet标架为
$\begin{cases} \alpha_1(0)&=\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \\ \beta_1(0)&= (1,0,0) \\ \gamma_1(0)&=\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \end{cases}$ ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧α1(0)β1(0)γ1(0)=(0,21,21)=(1,0,0)=(0,21,−21)
$C_2$ C2在0处的Frenet标架为
$\begin{cases} \alpha_2(0)&=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \\ \beta_2(0)&= (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0) \\ \gamma_2(0)&=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \end{cases}$ ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧α2(0)β2(0)γ2(0)=(−21,21,21)=(21,21,0)=(−21,21,−21)
设 $\begin{pmatrix}\alpha_1(0) \\ \beta_1(0) \\ \gamma_1(0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha_2(0) \\ \beta_2(0) \\ \gamma_2(0)\end{pmatrix}A$ ⎝⎛α1(0)β1(0)γ1(0)⎠⎞=⎝⎛α2(0)β2(0)γ2(0)⎠⎞A，解得
$A= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ A=⎝⎛21210−21210001⎠⎞
代入验证可得 $r_1(t)=r_2(t)A+(0,0,-1)$ r1(t)=r2(t)A+(0,0,−1)

通过这道题可以看出，方法二（包括方法三）的方法是无法求出平移变换的，不过可以在求出正交变换后，作一条曲线与另一条曲线做正交变换后的新曲线的差，得到平移变换。

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什么曲线是合同的？

怎么证明合同？

怎么求合同曲线相差的变换？

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