统计功能是一类极为常见的需求，比如下面这个场景：
为了决定某个功能是否在下个迭代版本中保留，产品会要求统计页面在上新前后的 UV 作为决策依据。简单来说就是统计一天内，某个页面的访问用户量，如果相同的用户再次访问，也只算记为一次访问。 下面我们将从这个场景出发，讨论如何选择的合适的 Redis 数据结构实现统计功能。
Redis与统计
聚合统计
要完成这个统计任务，最直观的方式是使用一个SET保存页面在某天的访问用户 ID，然后通过对集合求差SDIFF和求交SINTER完成统计：
# 2020-01-01 当日的 UV
SADD page:uv:20200101 "Alice" "Bob" "Tom" "Jerry"
# 2020-01-02 当日的 UV
SADD page:uv:20200102 "Alice" "Bob" "Jerry" "Nancy"
# 2020-01-02 新增用户
SDIFFSTORE page:new:20200102 page:uv:20200102 page:uv:20200101
# 2020-01-02 新增用户数量
SCARD page:new:20200102
# 2020-01-02 留存用户
SINTERSTORE page:rem:20200102 page:uv:20200102 page:uv:20200101
# 2020-01-02 留存用户数量
SCARD page:rem:20200102
优点：
- 操作直观易理解，可以复用现有的数据集合
- 保留了用户的访问细节，可以做更细粒度的统计
缺点：
- 内存开销大，假设每个用户ID长度均小于 44 字节（使用 embstr 编码），记录 1 亿用户也至少需要 6G 的内存
-
SUNION、SINTER、SDIFF计算复杂度高，大数据量情况下会导致 Redis 实例阻塞，可选的优化方式有：- 从集群中选择一个从库专门负责聚合计算
- 把数据读取到客户端，在客户端来完成聚合统计
二值统计
当用户 ID 是连续的整数时，可以使用BITMAP实现二值统计：
# 2020-01-01 当日的 UV
SETBIT page:uv:20200101 0 1 # "Alice"
SETBIT page:uv:20200101 1 1 # "Bob"
SETBIT page:uv:20200101 2 1 # "Tom"
SETBIT page:uv:20200101 3 1 # "Jerry"
# 2020-01-02 当日的 UV
SETBIT page:uv:20200102 0 1 # "Alice"
SETBIT page:uv:20200102 1 1 # "Bob"
SETBIT page:uv:20200102 3 1 # "Jerry"
SETBIT page:uv:20200102 4 1 # "Nancy"
# 2020-01-02 新增用户
BITOP NOT page:not:20200101 page:uv:20200101
BITOP AND page:new:20200102 page:uv:20200102 page:not:20200101
# 2020-01-02 新增用户数量
BITCOUNT page:new:20200102
# 2020-01-02 留存用户
BITOP AND page:rem:20200102 page:uv:20200102 page:uv:20200101
# 2020-01-02 留存用户数量
BITCOUNT page:new:20200102
优点：
- 内存开销低，记录 1 亿个用户只需要 12MB 内存
- 统计速度快，计算机对比特位的异或运算十分高效
缺点：
- 对数据类型有要求，只能处理整数集合
基数统计
前面两种方式都能提供准确的统计结果，但是也存在以下问题：
- 当统计集合变大时，所需的存储内存也会线性增长
- 当集合变大时，判断其是否包含新加入元素的成本变大
考虑下面这一场景：
产品可能只关心 UV 增量，此时我们最终要的结果是访问用户集合的数量，并不关心访问集合里面包含哪些访问用户只统计一个集合中不重复的元素个数，而并不关心集合元素内容的统计方式，我们将其称为基数计数
cardinality counting
针对这一特定的统计场景，Redis 提供了HyperLogLog类型支持基数统计：
# 2020-01-01 当日的 UV
PFADD page:uv:20200101 "Alice" "Bob" "Tom" "Jerry"
PFCOUNT page:uv:20200101
# 2020-01-02 当日的 UV
PFADD page:uv:20200102 "Alice" "Bob" "Tom" "Jerry" "Nancy"
PFCOUNT page:uv:20200102
# 2020-01-01 与 2020-01-02 的 UV 总和
PFMERGE page:uv:union page:uv:20200101 page:uv:20200102
PFCOUNT page:uv:union
优点：HyperLogLog计算基数所需的空间是固定的。只需要 12KB 内存就可以计算接近 \(2^{64}\) 个元素的基数。
缺点：HyperLogLog的统计是基于概率完成的，其统计结果是有一定误差。不适用于精确统计的场景。
HyperLogLog 解析
概率估计
HyperLogLog是一种基于概率的统计方式，该如何理解？
我们来做一个实验：不停地抛一个均匀的双面硬币，直到结果是正面为止。
用 0 和 1 分别表示正面与反面，则实验结果可以表示为如下二进制串：
+-+
第 1 次抛到正面 |1|
+-+
+--+
第 2 次抛到正面 |01|
+--+
+---+
第 3 次抛到正面 |001|
+---+
+---------+
第 k 次抛到正面 |000...001| (总共 k-1 个 0)
+---------+
进行 n 实验后，将每次实验抛硬币的次数记为 \(k_1, k_3,\cdots,k_n\)，其中的最大值记为 \(k_{max}\)。
理想情况下有 \(k_{max} = log_2(n)\)，反过来也可以通过 \(k_{max}\) 来估计总的实验次数 \(n = 2^{k_{max}}\)。
处理极端情况
实际进行实验时，极端情况总会出现，比如在第 1 次实验时就连续抛出了 10 次反面。
如果按照前面的公式进行估计，会认为已经进行了 1000 次实验，这显然与事实不符。
为了提高估计的准确性，可以同时使用 m 枚硬币进行 分组实验。
然后计算这 m 组实验的平均值 \(\hat{k}_{max} = \frac{\sum_{i=0}^{m}{k_{max}}}{m}\)，此时能更准确的估计实际的实验次数 \(\hat{n}=2^{\hat{k}_{max}}\)。
基数统计
通过前面的分析，我们可以总结出以下经验：
可以通过二进制串中首个 1 出现的位置 \(k_{max}\) 来估计实际实验发生的次数 \(n\)
HyperLogLog借鉴上述思想来统计集合中不重复元素的个数：
- 使用 hash 函数集合中的每个元素映射为定长二进制串
- 利用 分组统计 的方式提高准确性，将二进制串分到 \(m\) 个不同的桶
bucket中分别统计- 二进制串的前 \(log_2{m}\) 位用于计算该元素所属的桶
- 剩余二进制位中，首个 1 出现的比特位记为 \(k\)，每个桶中的只保存最大值 \(k_{max}\)
- 当需要估计集合中包含的元素个数时，使用公式 \(\hat{n}=2^{\hat{k}_{max}}\) 计算即可
下面来看一个例子： 某个
HyperLogLog实现，使用8bit 输出的 hash 函数并以 4 个桶进行分组统计使用该 HLL 统计 Alice，Bob，Tom，Jerry，Nancy 这 5 个用户访问页后的 UV
映射为二进制串 分组 计算k
| | |
V V V
+---------+
hash("Alice") => |01|101000| => bucket=1, k=1
+---------+ 分组统计 k_max
+---------+
hash("Bob") => |11|010010| => bucket=3, k=2 +----------+----------+----------+----------+
+---------+ | bucket_0 | bucket_1 | bucket_2 | bucket_3 |
+---------+ ==> +----------+----------+----------+----------+
hash("Tom") => |10|001000| => bucket=2, k=3 | k_max= 1 | k_max= 2 | k_max= 3 | k_max= 2 |
+---------+ +----------+----------+----------+----------+
+---------+
hash("Jerry") => |00|111010| => bucket=0, k=1
+---------+
+---------+
hash("Nancy") => |01|010001| => bucket=1, k=2
+---------+
分组计数完成后，用之前的公式估计集合基数为 \(2^{\hat{k}_{max}}= 2^{(\frac{1+2+3+2}{4})} = 4\)。
误差分析
在 Redis 的实现中，对于一个输入的字符串，首先得到 64 位的 hash 值：
- 前 14 位来定位桶的位置（共有16384个桶）
- 后 50 位用作元素对应的二进制串（用于更新首次出现 1 的比特位的最大值 \(k_{max}\)）
由于使用了 64 位输出的 hash 函数，因此可以计数的集合的基数没有实际限制。
HyperLogLog的标准误差计算公式为 \(\frac{1.04}{\sqrt{m}}\)（\(m\) 为分组数量），据此计算 Redis 实现的标准误差为 \(0.81\%\)。
下面这幅图展示了统计误差与基数大小的关系：
- 红线和绿线分别代表两个不同分布的数据集
- x 轴表示集合实际基数
- y 轴表示相对误差（百分比）
分析该图可以得出以下结论：
- 统计误差与数据本身的分布特征无关
- 集合基数越小，误差越小（小基数时精度高）
- 集合基数越大，误差越大（大基数时省资源）