数学知识复习

Log对数

如果$a^x =N$ax=N（a>0且a ≠1）则x叫做以a为底N为对数，记做：$x=log_aN$x=loga​N
a叫做对数的底，N叫做真数
通常我们把以10为底的对数叫做常用对数，lgN表示
通过我们把以e为底的对数叫做自然对数，lnN表示

基础：

• 负数和0没有对数
• $log_a1=0$loga​1=0
• $log_aa=1$loga​a=1
• log_ab * log_ba=1
  换底公式
  $log_aM = \frac{log_bM}{lob_ab}$loga​M=loba​blogb​M​(b>0,b≠1)=$\frac{lgM}{lga}$lgalgM​
  例如：
  $log_23 =\frac{lg3}{lg2}$log2​3=lg2lg3​
  运算法则
• $log_a(M*N) = log_aM +log_aN$loga​(M∗N)=loga​M+loga​N
• $log_a(M/N) = log_aM - log_aN$loga​(M/N)=loga​M−loga​N
• $log_aM^n = nlog_aM$loga​Mn=nloga​M
• $a^{log_ab} = b$aloga​b=b
• $log_aM = \frac{1}{n}log_aM$loga​M=n1​loga​M

求导公式

基本求导公式

• C’ = 0, C是常数
• $(x^u)' = ux^{u-1}$(xu)′=uxu−1
• $(a^x)'= a^xlna$(ax)′=axlna
• $(e^x)'=e^x$(ex)′=ex
• $(log_ax)'=\frac{1}{xlna}$(loga​x)′=xlna1​
• $(lnx)'=\frac{1}{x}$(lnx)′=x1​

求导法则
设 u= u(x) ,v=v(x) 都可导，则

• $(u\pm v)' = u' \pm v'$(u±v)′=u′±v′
• $(C*u)' = C*u'$(C∗u)′=C∗u′ （C是常数）
• $(u*v)' = u'v + uv'$(u∗v)′=u′v+uv′
• $(u/v)'= \frac{u'v-uv'}{v^2}$(u/v)′=v2u′v−uv′​

复合函数求导

基本函数

• y = lnu
• y=1+2x
• y=1+x^2
  复合函数求导
• 由基本函数组成的函数称做复合函数，可以将复合函数中的变量替换为一个基本函数或者函数的表达式，例如：
  $y = lnu, u=1+x^2$y=lnu,u=1+x2
  $y=lnu, u=1+x^2=> f(x)=ln(1+x^2)$y=lnu,u=1+x2=>f(x)=ln(1+x2)
  从左到右，依次替换
  例如：y = $\sqrt{u}, u=2x^2-1$u​,u=2x2−1，可以复合成：$f(x) = \sqrt{2^x -1}$f(x)=2x−1​
  例如 $y = \sqrt{u},u=2-v^2,v=sinx$y=u​,u=2−v2,v=sinx 可以复合成：
  $y= \sqrt{2-v^2} =\sqrt{2-(sinx)^2}$y=2−v2​=2−(sinx)2​
  $f(x) = \sqrt{2-sin^2x}$f(x)=2−sin2x​

复合函数的求导
步骤

• 先分解
• 分别求导
• 求积
• 还原
  $y'_x = \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} * \frac{du}{dx} = y'_u * u'_x$yx′​=dxdy​=dudy​∗dxdu​=yu′​∗ux′​
  即： $y'_x = y'_u * u'_x$yx′​=yu′​∗ux′​
  

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