参考链接：常用7种时间序列预测模型

                  用python做时间序列预测九：ARIMA模型简介

运用ARIMA进行时间序列建模的基本步骤：

• 1）加载数据：构建模型的第一步当然是加载数据集。
• 2）预处理：根据数据集定义预处理步骤。包括创建时间戳、日期/时间列转换为d类型、序列单变量化等。
• 3）序列平稳化：为了满足假设，应确保序列平稳。这包括检查序列的平稳性和执行所需的转换。
• 4）确定d值：为了使序列平稳，执行差分操作的次数将确定为d值。
• 5）创建ACF和PACF图：这是ARIMA实现中最重要的一步。用ACF PACF图来确定ARIMA模型的输入参数。
• 6）确定p值和q值：从上一步的ACF和PACF图中读取p和q的值。
• 7）拟合ARIMA模型：利用我们从前面步骤中计算出来的数据和参数值，拟合ARIMA模型。
• 8）在验证集上进行预测：预测未来的值。
• 9）计算RMSE：通过检查RMSE值来检查模型的性能，用验证集上的预测值和实际值检查RMSE值。

 

ARMA模型公式：

       

 

 

 

信息准则定阶

• AIC(Akaike Information Criterion)

         
           L是数据的似然函数，k=1表示模型考虑常数c，k=0表示不考虑。最后一个1表示算上误差项，所以其实第二项就是2乘以参数个数。

• AICc（修正过的AIC）

         

• BIC(Bayesian Information Criterion)

        

注意事项：

 

• 信息准则越小，说明参数的选择越好，一般使用AICc或者BIC。
• 差分d，不要使用信息准则来判断，因为差分会改变了似然函数使用的数据，使得信息准则的比较失去意义，所以通常用别的方法先选择出合适的d。
• 信息准则的好处是可以在用模型给出预测之前，就对模型的超参做一个量化评估，这对批量预测的场景尤其有用，因为批量预测往往需要在程序执行过程中自动定阶。

 

模型构建

from statsmodels.tsa.arima_model import ARIMA

# 1,1,2 ARIMA Model
model = ARIMA(df.value, order=(1,1,2))
model_fit = model.fit(disp=0)
print(model_fit.summary())

　　   

 中间的表格列出了训练得到的模型各项和对应的系数，如果系数很小，且‘P>|z|’ 列下的P-Value值远大于0.05，则该项应该去掉，比如左图中的ma部分的第二项，系数是-0.0010,P-Value值是0.998,那么可以重建模型为ARIMA(1,1,1)，从右图可以看到，修改阶数后的模型的AIC等信息准则都有所降低：

 

 

 

 通常会检查模型拟合的残差序列，即训练数据原本的序列减去训练数据上的拟合序列后的序列。该序列越符合随机误差分布(均值为0的正态分布)，说明模型拟合的越好，否则，说明还有一些因素模型未能考虑。

# Plot residual errors
residuals = pd.DataFrame(model_fit.resid)
fig, ax = plt.subplots(1,2)
residuals.plot(title="Residuals", ax=ax[0])
residuals.plot(kind='kde', title='Density', ax=ax[1])
plt.show()

# Actual vs Fitted
model_fit.plot_predict(dynamic=False)
plt.show()

　　       

from statsmodels.tsa.stattools import acf

# Create Training and Test
train = df.value[:85]
test = df.value[85:]

# Build Model
model = ARIMA(train, order=(3,2,1))  
# model = ARIMA(train, order=(1, 1, 1))    #预测效果很差，选用上面的效果有提升
fitted = model.fit(disp=-1)  

# Forecast
fc, se, conf = fitted.forecast(15, alpha=0.05)  # 95% conf

# Make as pandas series
fc_series = pd.Series(fc, index=test.index)
lower_series = pd.Series(conf[:, 0], index=test.index)
upper_series = pd.Series(conf[:, 1], index=test.index)

# Plot
plt.figure(figsize=(12,5), dpi=100)
plt.plot(train, label='training')
plt.plot(test, label='actual')
plt.plot(fc_series, label='forecast')
plt.fill_between(lower_series.index, lower_series, upper_series, 
                 color='k', alpha=.15)
plt.title('Forecast vs Actuals')
plt.legend(loc='upper left', fontsize=8)
plt.show()

　　

 

 

 AUTO-ARIMA模型 （python - pmdarima；r - forecast）

通过预测结果来推断模型阶数的好坏毕竟还是耗时耗力了些，一般可以通过计算AIC或BIC的方式来找出更好的阶数组合。pmdarima模块的auto_arima方法就可以让我们指定一个阶数上限和信息准则计算方法，从而找到信息准则最小的阶数组合。

from statsmodels.tsa.arima_model import ARIMA
import pmdarima as pm

df = pd.read_csv('https://raw.githubusercontent.com/selva86/datasets/master/wwwusage.csv', names=['value'], header=0)

model = pm.auto_arima(df.value, start_p=1, start_q=1,
                      information_criterion='aic',
                      test='adf',       # use adftest to find optimal 'd'
                      max_p=3, max_q=3, # maximum p and q
                      m=1,              # frequency of series
                      d=None,           # let model determine 'd'
                      seasonal=False,   # No Seasonality
                      start_P=0, 
                      D=0, 
                      trace=True,
                      error_action='ignore',  
                      suppress_warnings=True, 
                      stepwise=True)

print(model.summary())

# Forecast
n_periods = 24
fc, confint = model.predict(n_periods=n_periods, return_conf_int=True)
index_of_fc = np.arange(len(df.value), len(df.value)+n_periods)

# make series for plotting purpose
fc_series = pd.Series(fc, index=index_of_fc)
lower_series = pd.Series(confint[:, 0], index=index_of_fc)
upper_series = pd.Series(confint[:, 1], index=index_of_fc)

# Plot
plt.plot(df.value)
plt.plot(fc_series, color='darkgreen')
plt.fill_between(lower_series.index, 
                 lower_series, 
                 upper_series, 
                 color='k', alpha=.15)

plt.title("Final Forecast of WWW Usage")
plt.show()

　　 

如何自动构建季节性ARIMA模型？

如果模型带有季节性，则除了p,d,q以外，模型还需要引入季节性部分：

与非季节性模型的区别在于，季节性模型都是以m为固定周期来做计算的，比如D就是季节性差分，是用当前值减去上一个季节周期的值，P和Q和非季节性的p,q的区别也是在于前者是以季节窗口为单位，而后者是连续时间的。
上节介绍的auto arima的代码中，seasonal参数设为了false，构建季节性模型的时候，把该参数置为True，然后对应的P，D，Q,m参数即可，代码如下：

# !pip3 install pyramid-arima
import pmdarima as pm
# Seasonal - fit stepwise auto-ARIMA
smodel = pm.auto_arima(data, start_p=1, start_q=1,
                         test='adf',
                         max_p=3, max_q=3, m=12,
                         start_P=0, seasonal=True,
                         d=None, D=1, trace=True,
                         error_action='ignore',  
                         suppress_warnings=True, 
                         stepwise=True)
smodel.summary()

注意这里的stepwise参数，默认值就是True，表示用stepwise algorithm来选择最佳的参数组合，会比计算所有的参数组合要快很多，而且几乎不会过拟合，当然也有可能忽略了最优的组合参数。所以如果你想让模型自动计算所有的参数组合，然后选择最优的，可以将stepwise设为False。 

如何在预测中引入其它相关的变量？