K-MEANS算法
摘要：在数据挖掘中，K-Means算法是一种 cluster analysis 的算法，其主要是来计算数据聚集的算法，主要通过不断地取离种子点最近均值的算法。
在数据挖掘中，K-Means算法是一种cluster analysis的算法，其主要是来计算数据聚集的算法，主要通过不断地取离种子点最近均值的算法。
问题
K-Means算法主要解决的问题如下图所示。我们可以看到，在图的左边有一些点，我们用肉眼可以看出来有四个点群，但是我们怎么通过计算机程序找出这几个点群来呢？于是就出现了我们的K-Means算法（Wikipedia链接）
K-Means要解决的问题
算法概要
这个算法其实很简单，如下图所示：
从上图中，我们可以看到，A，B，C，D，E是五个在图中点。而灰色的点是我们的种子点，也就是我们用来找点群的点。有两个种子点，所以K=2。
然后，K-Means的算法如下：
- 随机在图中取K（这里K=2）个种子点。
- 然后对图中的所有点求到这K个种子点的距离，假如点Pi离种子点Si最近，那么Pi属于Si点群。（上图中，我们可以看到A，B属于上面的种子点，C，D，E属于下面中部的种子点）
- 接下来，我们要移动种子点到属于他的“点群”的中心。（见图上的第三步）
- 然后重复第2）和第3）步，直到，种子点没有移动（我们可以看到图中的第四步上面的种子点聚合了A，B，C，下面的种子点聚合了D，E）。
这个算法很简单，但是有些细节我要提一下，求距离的公式我不说了，大家有初中毕业水平的人都应该知道怎么算的。我重点想说一下“求点群中心的算法”。
求点群中心的算法
一般来说，求点群中心点的算法你可以很简的使用各个点的X/Y坐标的平均值。不过，我这里想告诉大家另三个求中心点的的公式：
1）Minkowski Distance公式——λ可以随意取值，可以是负数，也可以是正数，或是无穷大。
2）Euclidean Distance公式——也就是第一个公式λ=2的情况
3）CityBlock Distance公式——也就是第一个公式λ=1的情况
这三个公式的求中心点有一些不一样的地方，我们看下图（对于第一个λ在0-1之间）。
（1）Minkowski Distance （2）Euclidean Distance （3） CityBlock Distance
上面这几个图的大意是他们是怎么个逼近中心的，第一个图以星形的方式，第二个图以同心圆的方式，第三个图以菱形的方式。
K-Means的演示
如果你以”K Means Demo“为关键字到Google里查你可以查到很多演示。这里推荐一个演示：http://home.dei.polimi.it/matteucc/Clustering/tutorial_html/AppletKM.html
操作是，鼠标左键是初始化点，右键初始化“种子点”，然后勾选“Show History”可以看到一步一步的迭代。
注：这个演示的链接也有一个不错的K Means Tutorial。
K-Means++算法
K-Means主要有两个最重大的缺陷——都和初始值有关：
- K是事先给定的，这个K值的选定是非常难以估计的。很多时候，事先并不知道给定的数据集应该分成多少个类别才最合适。（ISODATA算法通过类的自动合并和分裂，得到较为合理的类型数目K）
- K-Means算法需要用初始随机种子点来搞，这个随机种子点太重要，不同的随机种子点会有得到完全不同的结果。（K-Means++算法可以用来解决这个问题，其可以有效地选择初始点）
我在这里重点说一下K-Means++算法步骤：
- 先从我们的数据库随机挑个随机点当“种子点”。
- 对于每个点，我们都计算其和最近的一个“种子点”的距离D(x)并保存在一个数组里，然后把这些距离加起来得到Sum(D(x))。
- 然后，再取一个随机值，用权重的方式来取计算下一个“种子点”。这个算法的实现是，先取一个能落在Sum(D(x))中的随机值Random，然后用Random -= D(x)，直到其<=0，此时的点就是下一个“种子点”。
- 重复第（2）和第（3）步直到所有的K个种子点都被选出来。
- 进行K-Means算法。
相关的代码你可以在这里找到“implement the K-means++ algorithm”（墙）另，Apache的通用数据学库也实现了这一算法
K-Means算法应用
看到这里，你会说，K-Means算法看来很简单，而且好像就是在玩坐标点，没什么真实用处。而且，这个算法缺陷很多，还不如人工呢。是的，前面的例子只是玩二维坐标点，的确没什么意思。但是你想一下下面的几个问题：
1）如果不是二维的，是多维的，如5维的，那么，就只能用计算机来计算了。
2）二维坐标点的X，Y 坐标，其实是一种向量，是一种数学抽象。现实世界中很多属性是可以抽象成向量的，比如，我们的年龄，我们的喜好，我们的商品，等等，能抽象成向量的目的就是可以让计算机知道某两个属性间的距离。如：我们认为，18岁的人离24岁的人的距离要比离12岁的距离要近，鞋子这个商品离衣服这个商品的距离要比电脑要近，等等。
只要能把现实世界的物体的属性抽象成向量，就可以用K-Means算法来归类了。
在《k均值聚类(K-means)》 这篇文章中举了一个很不错的应用例子，作者用亚洲15支足球队的2005年到1010年的战绩做了一个向量表，然后用K-Means把球队归类，得出了下面的结果，呵呵。
- 亚洲一流：日本，韩国，伊朗，沙特
- 亚洲二流：乌兹别克斯坦，巴林，朝鲜
- 亚洲三流：中国，伊拉克，卡塔尔，阿联酋，泰国，越南，阿曼，印尼
其实，这样的业务例子还有很多，比如，分析一个公司的客户分类，这样可以对不同的客户使用不同的商业策略，或是电子商务中分析商品相似度，归类商品，从而可以使用一些不同的销售策略，等等。
总结：
1. 算法流程
输入：聚类个数k，以及包含 n个数据对象的数据库。 输出：满足方差最小标准的k个聚类。
（1）从n个数据对象任意选择k个对象作为初始聚类中心
（2）计算每个对象与聚类中心的距离；并根据最小距离重新对相应对象进行划分
（3）重新计算每个聚类的均值作为新的聚类中心
（4）循环（2）到（3）直到每个聚类不再发生变化为止
2. 算法分析
K-Means的优化目标可以表示为：
其中，x_n表示数据对象，μ_k表示中心点，r_nk在数据点n分配到类别k的时候为1，没有分配到类别k的时候为0。
整个算法通过迭代计算，找到合适的r_nk和μ_k来，使得J最小。
算法流程的第二步，固定μ_k，更新r_nk，将每个数据对象放到与其最近的聚类中心的类别中，自然这一步能够保证在固定μ_k的情况下，J的值降到了最小。
算法流程的第三步，固定r_nk，更新μ_k，此时J对μ_k（实际上是μ_0,μ_1,...分别求导）求导并令结果等于零，得到：
即，当新的中心点取每个类别中的中心值的时候，每个类别内部的标准距离下降最多。J是所有类别距离内部的距离之和，因此保证了的固定r_nk的情况下，J的值降到了最小。
两个步骤，J的值都在下降，随着迭代次数增加J的值会下降到一个极小值。
3. 结束条件
K-Means迭代的条件可以有如下几个：
· 每个聚类内部元素不在变化，这是最理想的情况了。
· 前后两次迭代，J的值相差小于某个阈值。
· 迭代超过一定的次数。
4. 缺点
· K值的设定难以估计，如果数据实际上是10个类别，设K=20，那么得到的结果很可能不好，如果设K=10，那么得到的结果很可能会很好。
· K确定了以后，初始中心也是一个问题，K个中心一旦选定了，就决定了聚类结果，选的好，聚类出来的结果就好。
个人认为主要的缺点是这两个，相应的也有一些改进方法，这里不涉及了，具体可参见参考中的百度百科_K-Means。
5. 重点
本文主要重点有两个：
K-Means的三个结束条件（不变化，J值变化较小，迭代次数）和两个缺点（K值，K个中心点）。
最后给一个挺好的算法的幻灯片：http://www.cs.cmu.edu/~guestrin/Class/10701-S07/Slides/clustering.pdf