Cauchy数列：设\({x_n}\)为一数列，如果对于任意给定的ε＞0，都存在正整数N，使得

                                                 $|x_m-x_n|＜ε，∀m,n＞N$

则称\({x_n}\)为Cauchy数列。

Cauchy收敛准则：数列\({x_n}\)收敛的充分必要条件是它是Cauchy数列。

证明：先证必要性，设\({x_n}\)为收敛于A的数列，由数列极限的定义，对任意ε＞0，存在正整数N，当m,n＞N时有

                                                 $|x_m-A|＜ε，$|x_n-0|＜ε

所以                                                 $|x_m-x_n|＜2ε$

由ε的任意性，数列\({x_n}\)是Cauchy数列。

下证充分性，设数列\({x_n}\)是Cauchy数列。

取ε=1，存在正整数N，使得\(|x_m-x_n|＜1，∀m,n＞N\)

取n=N+1，有\(|x_m-x_{N+1}|＜1，∀m＞N\)，从而\(|x_m|＜1+|x_{N+1}|，∀m＞N\)

令\(M=1+∑_{k=1}^{N+1}|x_k|\)，则\(|x_n|≤M\)，所以数列\({x_n}\)有界，即存在上下极限。

由定义，$-ε＜x_n-x_m＜ε，∀m,n＞N$

若m给定，令n→∞，取下极限\(-ε≤lim(下极限){n→∞}x_n-x_m≤ε\)

令m→∞，取上极限\(-ε≤lim(下极限){n→∞}x_n-lim(上极限)_{n→∞}x_m≤ε\)

由ε的任意性，数列\({x_n}\)上下极限相等，即数列\({x_n}\)收敛。