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一 单调性与极值
1.1 单调性
y = f(x) 在D上有定义。x1,x2∈D且x1<x2。
- 严格增函数：f(x1)<f(x2)
- 严格减函数：f(x1)>f(x2)
1.2 极值点
x0极大值点：x = x0 处左右去心邻域函数值<f(x0)
x0极小值点：x = x0 处左右去心邻域函数值>f(x0)
单调性判别法
注解
1.3 极值点判断步骤
不可导点的四种情况
- 没有定义的点。 例如分母为0
- 不连续点/间断点
- 连续点但图像不光滑，尖点
- 斜率无限大点。例如垂直x轴
可导点的充要条件 左右导数存在且相等
驻点：一阶导数=0
第二充分条件(1)中 f’(x0) = 0 f’’(x0)>0，根据二阶导数的定义可以得知，在x0邻域内f‘(x)=0为最小值，即x0两边一阶导数大于0，由此可以得 x = x0 处左右去心邻域函数值>f(x0)，因此x0为极小值点。
二 凹凸性与拐点
凹凸性判别法
凹： 二阶导数 > 0。一阶导数变大 => 增加变快/减少变慢 => 曲线有向上的趋势
凸： 二阶导数 < 0。一阶导数变小 = >增加变慢/减少变快 => 曲线有向下的趋势
拐点表明该点左右两侧的图像凹凸性不同，不能单纯使用二阶导数为0作为判断条件，关键还要看该点两侧的二阶导数是否异号。
扩展：
- 导数的意义 一阶斜率，二阶斜率的变化率，三阶凹凸变换趋势
- 多阶导数的几何意义
- 一阶：正表增，负表减
- 二阶：正，一阶导增，下凹；负，一阶导减，上凸
- 三阶：正，下凹越来越厉害，上凸越来越弱
- 物理意义
- 一阶 速度
- 二阶 加速度
- 三阶 加加速度/急动度/力变率
- 四阶 痉挛度
- 力变率反映人民的舒适程度，加速度/力恒定时候比力变换时候更舒适，人们看见速度感受加速度厌恶急动度
三 渐近线
3.1 水平渐近线
若 lim x → ∞ f ( x ) = A 若 \lim_{x \rightarrow ∞}f(x) = A 若x→∞limf(x)=A
称 y = A 为L:y=f(x)的水平渐近线
函数图像可能没有水平渐近线，但是最多只有两条水平渐近线
3.2 铅直渐近线
若 lim x → a f ( x ) = ∞ 或 f ( a ± 0 ) = ∞ 若 \lim_{x \rightarrow a}f(x) = ∞ 或 f(a±0)= ∞ 若x→alimf(x)=∞或f(a±0)=∞
则称x = a为曲线y=f(x)的铅直渐近线
出现在函数无定义处，即间断点
若x=a是f(x)的铅直渐近线则x=a是y=f(x)的间断点，反之不一定。
3.3 斜渐近线
若 lim x → ∞ f ( x ) x = a ( ≠ 0 , ∞ ) , lim x → ∞ [ f ( x ) − a x ] = b 称 y = a x + b 为 y = f ( x ) 的 渐 近 线 \begin{aligned} &若\lim_{x \rightarrow ∞}\frac{f(x)}{x} = a(\neq 0,∞) ,\lim_{x \rightarrow ∞}[f(x) - ax] = b \\ &称y = ax + b 为y=f(x)的渐近线 \end{aligned} 若x→∞limxf(x)=a(=0,∞),x→∞lim[f(x)−ax]=b称y=ax+b为y=f(x)的渐近线
四 弧微分与曲率
4.1 弧微分基本公式
(
Δ
s
)
2
=
(
Δ
x
)
2
+
(
Δ
y
)
2
(
d
s
)
2
=
(
d
x
)
2
+
(
d
y
)
2
d
s
=
(
d
x
)
2
+
(
d
y
)
2
=
1
+
(
d
y
d
x
)
2
=
1
+
f
′
2
(
x
)
d
x
\begin{aligned} & (Δs)^2 = (Δx)^2 + (Δy)^2 \\ & (ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 \\ & \begin{aligned} ds = &\sqrt{(dx)^2+(dy)^2} \\ = &\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} \\ = &\sqrt{1+f'^2(x)}dx \end{aligned} \end{aligned}
(Δs)2=(Δx)2+(Δy)2(ds)2=(dx)2+(dy)2ds===(dx)2+(dy)2
1+(dxdy)2
1+f′2(x)
dx