DSU on tree !
解决树上问题的利器，复杂度虽然没有长链剖分优秀，不过思考简单而且代码优美，是树上维护答案的好帮手。
例题：DSU on tree

应用范围

解决一些子树的离线静态问题，巧妙地将暴力 \(O(n^2)\) 的复杂度优化到 \(O(nlogn)\)。

算法思路

1. 回溯整棵树维护子树大小以及重儿子，为后面的 DSU 做好准备。
2. 对于每个结点，求出其所有轻儿子的答案，但不继承。
3. 求出重儿子的答案，并继承。
4. 暴力合并轻儿子答案，最后消除轻儿子对于结果的影响。

复杂度

\(O(nlogn)\)

证明

待补

CF600E

DSU on tree 的经典题，考虑询问离线后先预处理，直接做的话暴力是 \(o(n^2)\) 的。这个时候使用 DSU on tree 即可，注意维护子树内颜色的数量和暴力合并轻儿子的过程。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 100000 + 10;
int n,tot,hson,sum,maxn;
int ans[N],cnt[N],col[N];
int head[N],ver[2*N],Next[2*N];
int siz[N],son[N];
void add(int x,int y)
{
    ver[++tot] = y,Next[tot] = head[x],head[x] = tot;
}
void dfs(int u,int fa)
{
    siz[u] = 1;
    for(int i = head[u];i;i = Next[i])
    {
        int v = ver[i];
        if(v == fa) continue;
        dfs(v,u);
        siz[u] += siz[v];
        if(siz[v] > siz[son[u]]) son[u] = v;
    }
}
void modify(int u,int fa,int val)
{
    cnt[col[u]] += val;
    if(cnt[col[u]] > maxn) maxn = cnt[col[u]],sum = col[u];
    else if(cnt[col[u]] == maxn) sum += col[u];
    for(int i = head[u];i;i = Next[i])
    {
        int v = ver[i];
        if(v == fa || v == hson) continue;
        modify(v,u,val);
    }
}
void dsu(int u,int fa,int keep)
{
    for(int i = head[u];i;i = Next[i])
    {
        int v = ver[i];
        if(v == fa || v == son[u]) continue;
        dsu(v,u,0);
    }
    if(son[u]) dsu(son[u],u,1),hson = son[u];
    modify(u,fa,1); hson = 0;
    ans[u] = sum;
    if(not keep) modify(u,fa,-1),sum = 0,maxn = 0;
}
signed main()
{
    tot = 1;
    scanf("%lld",&n);
    for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%lld",&col[i]);
    for(int i = 1;i < n;i++)
    {
        int u,v;
        scanf("%lld%lld",&u,&v);
        add(u,v);
        add(v,u);
    }
    dfs(1,0);
    //cout << 1 << endl;
    dsu(1,0,0);
    for(int i = 1;i <= n;i++) printf("%lld ",ans[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}