1. 不动点迭代法

1.1 定义

迭代法是求解一元非线性方程$f(x)=0$f(x)=0的主要方法。其做法是将方程改为等价方程$x=\phi(x)$x=ϕ(x)，从而构造迭代公式$x_{k+1}=\phi(x_k)$xk+1​=ϕ(xk​),如果$x_k$xk​有极限，则迭代公式是收敛的。

1.2 不动点迭代法的收敛性定理

设$\phi\in C[a,b]$ϕ∈C[a,b]，$\phi(x)$ϕ(x)需满足2个条件才能保证迭代公式收敛。

• 条件1-- 定义域包含值域（映内性）：当$a\le x\le b$a≤x≤b时，也有$a \le \phi(x) \le b$a≤ϕ(x)≤b
• 条件2—利普希茨条件（压缩性）：存在常数$0&lt;L&lt;1$0<L<1，使得$|\phi(x)-\phi(\hat x)|\le L|x-\hat x| \quad \forall x,\hat x\in[a,b] \tag1$∣ϕ(x)−ϕ(x^)∣≤L∣x−x^∣∀x,x^∈[a,b](1)

1.3 不动点迭代法的收敛性定理的引理（常用）

• 条件1：不变
• 条件2： 设$\phi$ϕ在(a,b)上可导，且存在常数$0&lt;L&lt;1$0<L<1，使得$|\phi^{&#x27;}(x)|\le L \le 1\quad \forall x \in (a,b)\tag2$∣ϕ′(x)∣≤L≤1∀x∈(a,b)(2)如果式(2)成立，则由中值定理$|\phi(x)-\phi(\hat x)|=|\phi^{&#x27;}(\xi)||x-\hat x|\le L(x-\hat x)$∣ϕ(x)−ϕ(x^)∣=∣ϕ′(ξ)∣∣x−x^∣≤L(x−x^)即式(1)成立。

2. 牛顿迭代法求解一元非线性方程

2.1 牛顿迭代法的公式

由$f(x)$f(x)在$x_0$x0​的泰勒展开得$0=f(x)=f(x_0)+f^{&#x27;}(x_0)(x-x_0)+R_n(x)$0=f(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+Rn​(x)忽略余项，可得$x=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{&#x27;}(x_0)}$x=x0​−f′(x0​)f(x0​)​由此可得牛顿迭代公式为：
$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{&#x27;}(x_k)}$xk+1​=xk​−f′(xk​)f(xk​)​

2.2 优缺点

优点：

• 具有平方收敛的速度

缺点：

• 重根情形下为局部线性收敛
• 计算量大（除了计算函数值外还要计算微商值）
• 初值要靠近精确解

3. 牛顿法求解非线性方程组

$x^{(k+1)}=x^{(k)}-(Df(x^{(k)}))^{-1}f(x^{(k)})$x(k+1)=x(k)−(Df(x(k)))−1f(x(k))其中$Df$Df是雅可比矩阵

4. 拟牛顿法求解非线性方程组

在某种近似条件下，以某个非奇异且比雅可比矩阵容易计算的矩阵近似代替雅可比矩阵