拉格朗日插值原理

已知，以及X对应的通过公式

得到若干个基函数，再将每个基函数乘以对应的后相加

 从上式可以看出，当时，；而当时，

即满足条件

 

最终可以得到下式，可以看出，该多项式函数必然通过所有的节点，而这也是所有插值函数的一个特点

 为方便书写，我们引入记号

则不难得到

此时，拉格朗日基函数可改写为

从而拉格朗日插值多项式可改写为

拉格朗日插值余项

插值余项是由实际函数减去插值多项式函数所得到的

其作用是估计插值的误差

关于插值余项，它满足一下定理：

      设在区间上连续，在内存在，为在节点上满足插值条件

的多项式，则对任何,其插值余项为

其中且依赖于

 

例题

给出节点处的函数值为，要求计算出它的拉格朗日插值多项式，并计算的值

由以上节点，我们可以求出它们的基函数分别为：

则所求的拉格朗日插值多项式为

进而有

 

python代码实现

#python代码
#首先定义拉格朗日插值多项式函数
def lagrange(x0,y0,x,n = 1):
    '''
    x0,y0:训练数值
    x:预测数值
    n:拉格朗日插值多项式次数，例：n=1，线性函数。默认参数：1
    return:x对应函数y的取值
    '''
    assert len(x0)>=2,'The length of x0 and y0 must be greater than or equal to 2'
    assert len(x0)==len(y0),"'x0' and 'y0' must be the same length"
    Ls = []
    for i in range(len(x)):
        L = 0
        for j in range(n+1):
            l_u = 1
            l_d = 1
            for k in range(n+1):
                if j == k:
                    continue
                l_u *= (x[i]-x0[k])
                l_d *= (x0[j]-x0[k])
            L += y0[j]*(l_u/l_d)
        Ls.append(L)
    return Ls
#导入数据
x0 = [-1,1,2]
y0 = [2,1,3]
x = [0.5]
#预测结果
Ls = lagrange(x0,y0,x,n = 2)
print(Ls)

 

 matlab代码实现

%matlab代码实现
%定义函数
%x为节点，y为x对应的函数值，x0为预测数值，k为多项式次数
%返回x0对应的数值y
function y = lagrange(x,y,x0,k)
syms x_1;
L = 0;
for i = 1:k+1
    X = 1;
    J = 1;
    for ii = 1:k+1
        if x(i)~=x(ii)
            X = X*(x_1-x(ii));
            J = J*(x(i)-x(ii));
        else
            continue
        end
    end
    L = L + (X/J)*y(i);
end
y = double(subs(L,x_,x0));
end

%导入数据
format long
x = [-1 1 2];
y = [2 1 3];
x0 = 0.5;
y_predict = lagrange(x,y,x0,2);
disp(y_predict)