前言：
这是一个蒟蒻yy出来的笔记，大佬们就别踩这个蒟蒻了...
前置芝士：
- 直线斜率计算公式：\(k=\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}\)
引入
如图，这是\(f(x)=x^2\)的图像，现在该图上有一点\(A(1, 1)\)，求过该点的切线表达式。
令另一在该函数上的点\(B(x+h,f(x+h))\)，当\(B\)愈来愈趋近于\(A\)，即：\(\lim_{h \to 0}\)，过点\(A\)、\(B\)的直线斜率\(k= {\Large\frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}}\)
代入并进行化简得：\(\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=2x+h\)，当h趋近于0，斜率\(k=2x\)，即过\(A\)点的切线的斜率为\(2\)，\(\therefore\)该直线的表达式为\(y=2x-1\)。
推广：对于函数\(f(x)=x^2\)图像任意一点\((x,f(x))\)过改点的切线斜率为\(2x\)。
定义：对于任意函数\(y=f(x)\)，其任意一点的斜率遵循同一函数\(B\)，我们称函数\(B\)为函数\(f(x)\)的导数，记作\(y^{'}\)或\(f^{'}(x)\)。
定理：对于任意幂函数\(f(x)=x^a\)，其导数\(f^{'}(x)=ax^{a-1}\)。
证明：仍设点\(A(x, f(x))\)，\(B(x+h, f(x+h))\)。
当\(B\)无限接近\(A\)，直线\(AB\)的斜率为：
\({\large k=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^a-x^a}{h}}\)
根据二项式定理
\((x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^k\)，可得
\({\large k=\frac{\sum_{k=0}^{a} C_a^ka^{a-k}h^k-x^a}{h}}\)
将\(\sum\)中的第一项以及最后两项拆出，即
\[{\large k=\frac{x^a+\sum_{k=1}^{a-2}C_{a}^{k}x^{a-k}h^k+ax^{a-1}h+h^a-x^a}{h}=\frac{\sum_{k=1}^{a-2}C_{a}^{k}x^{a-k}h^k+h^a}{h}}+ax^{a-1} \]当 \(h\) 无限趋近于 \(0\) 时，左边分子的每一项都至少有 \(1\) 个h，那么整个分子的和均为 \(0\) ，最终得到 \(k=ax^{a-1}\) 。证毕
最后，我们就得到了一下结论：
对于任意的幂函数\(\mathit{{\color{Green} f(x)=x^a}}\)，其导数\(\mathit{{\color{Green} f^{'}(x)=ax^{a-1}}}\)。