《四重计树法》
- 有标号无根
prufer 序列，\(n^{n-2}\)。
- 有标号有根
prufer 序列，\(n^{n-1}\)。
- 无标号有根
设 \(f[n]\) 为 \(n\) 个节点时的答案，有：
\[f[n]=\sum_{k=1}^n\frac{[\sum_{i=1}^ks_i=n-1]\prod_{i=1}^kf[s_i]}{k!} \]人话就是 \(F(x)=x\exp(F(x))\)。
考虑求导列出 ODE 然后 \(O(n^2)\)。
\[(x\sum_{i=0}\frac{F^i(x)}{i!})' \] \[e^{F(x)}+x\sum_{i=0}\frac{iF'(x)F^{i-1}(x)}{i!} \] \[e^{F(x)}+xF'(x)\sum_{i=1}\frac{F^{i-1}(x)}{(i-1)!} \] \[e^{F(x)}+xF'(x)e^{F(x)} \] \[F'(x)=e^{F(x)}+F'(x)F(x) \] \[F(x)=\frac{F'(x)-e^{F(x)}}{F'(x)} \]只要维护出了 \(F(x)\)，就可以维护出 \(e^{F(x)},F'(x)\) 和 \(\frac{1}{F'(x)}\)，进而计算下一项，复杂度 \(O(n^2)\)。
- 无标号无根
同样的，我们有 \(F(x)=x\times Euler(x)\)。
展开：
\[F(x)=x\sum_{i=0}\frac{F(x^i)}{i} \]求导：
\[F'(x)=Euler(F(x))+x\sum_{i=0}\frac{ix^{i-1}F'(x^i)}{i} \] \[F'(x)=Euler(F(x))+\sum_{i=0}x^iF(x^i) \] \[F'(x)=\frac{F(x)}{x}+\sum_{i=0}x^iF(x^i) \] \[xF'(x)=F(x)+x\sum_{i=0}x^iF(x^i) \] \[F(x)=xF'(x)-x\sum_{i=0}^nx^iF(x^i) \]同样的，我们能够动态维护 \(F(x)\) 就可以维护右边那一车东西，复杂度仍然是 \(O(n^2)\) 的。