前言
典例剖析
(1). 求数列 \(\{a_{n}\}\) 的通项公式.
(2). 求数列 \(\{b_{n}\}\) 的前 \(n\) 项和.
解析：选择条件①: \(a_{2}+a_{4}=10\)，和条件②：$ b_{2} b_{4}=4$，
(1). 设 \(\{a_{n}\}\) 的公差为 \(d\)， 由题意可得 \(a_{1}=1\)，\((a_{1}+d)+(a_{1}+3 d)=10\)，
解得 \(a_{1}=1\)， \(d=2\)， 则 \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d=2n-1\)， \(n\in N^{*}\).
(2). 设 \(\{b_{n}\}\) 的公比为 \(q(q>0)\)， 由题意可得 \(b_{2}=1\)，\(b_{4}=4\)，
则 \(q^{2}=\cfrac{b_{4}}{b_{2}}=4\)， 解得 \(q=2\)， \(b_{1}=\cfrac{1}{2}\)，
所以数列 \(\{b_{n}\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(\cfrac{\frac{1}{2}(1-2^{n})}{1-2}=2^{n-1}-\cfrac{1}{2}\).
补充1：若选择条件①: \(a_{2}+a_{4}=10\)，条件③： \(b_{4}=a_{5}\)；
则 (1).简解得到\(a_1=1\)，\(d=2\)，则 \(a_n=2n-1\)；
(2). 简解得到，\(b_1=\cfrac{1}{3}\)，\(q=3\)，则 \(S_n=\cfrac{1}{6}(3^n-1)\)；
补充2：若选择条件②：\(b_{2}b_{4}=4\)，条件③： \(b_{4}=a_{5}\)；
则 (1). 由\(b_2=1\)以及\(b_{2}b_{4}=4\)，得到\(b_4=4\) 且 \(q=2\)，则\(a_5=b_4=4\)，
故\(d=\cfrac{a_5-a_1}{5-1}=\cfrac{3}{4}\)，则得到 \(a_n=\cfrac{3}{4}n+\cfrac{1}{4}\)；
(2). 由 \(q=2\)且\(b_2=1\) ，得到\(b_1=\cfrac{1}{2}\)，简解得到 \(S_n=\cfrac{1}{2}(2^n-1)\)；