常用数学化简技巧与常用公式【运算能力辅导】[编辑中]

前言

与其不停的抱怨学生的运算弱鸡,不如我们自己静下心来,好好的作以整理和总结,以期对他们有所帮助。另外还要注意体会数学化简的方向和方法;2019高考数学Ⅱ卷的第4题,让许多学生不知所云,就是例证。

引例【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第4题】原题目略,将高考真题中的物理知识背景省略,高度抽象就得到了如下的数学题目:

已知公式:\(\cfrac{M_1}{(R+r)^2}+\cfrac{M_2}{r^2}=(R+r)\cfrac{M_1}{R^3}\),且已知\(\alpha=\cfrac{r}{R}\),\(\cfrac{3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5}{(1+\alpha)^2}\approx 3\alpha^3\),试用\(M_1\),\(M_2\),\(R\)表示\(r\)的近似值;2019高考数学理科Ⅱ卷解析版

代数部分

  • 1、四则运算的互化

加法变减法,\(\cfrac{y+2}{x+1}=\cfrac{y-(-2)}{x-(-1)}\);比如用在斜率公式中。

乘法变除法,\(3x^2+4y^2=12\)变形为\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1\),\(3x^2+4y^2=1\)变形为\(\cfrac{x^2}{\frac{1}{3}}+\cfrac{y^2}{\frac{1}{4}}=1\),比如用在求长轴和短轴的长。

  • 2、 繁分式化简分式 :

\(\cfrac{\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}}{\frac{3}{ac}-\frac{1}{b}+\frac{4}{bc}}=\cfrac{(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c})\times abc}{(\frac{3}{ac}-\frac{1}{b}+\frac{4}{bc})\times abc}=\cfrac{bc+2ac+ab}{3b-ac+4a}\);同乘

  • 3、分式中负指数幂化为正指数幂:

\(\cfrac{a^x+a^{-x}}{a^x-a^{-x}}=\cfrac{(a^x+a^{-x})\times a^x}{(a^x-a^{-x})\times a^x}=\cfrac{a^{2x}+1}{a^{2x}-1}\);同乘

参见分式型函数常用变形

  • 4、指数运算、对数运算、根式运算

参见指数对数的运算

  • 5、齐次式变形,为函数求值域,三角函数化简、变形、求值做准备:

①\(z=\cfrac{a+\sqrt{2}b}{\sqrt{2}a+b}\);分子分母同除以\(b\)变形得到,\(z=\cfrac{\frac{a}{b}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}\frac{a}{b}+1}\xlongequal{t=\frac{a}{b}}\cfrac{t+\sqrt{2}}{\sqrt{2}t+1}\)

②\(z=\cfrac{2a^2+4ab-3b^2}{a^2+ab+b^2}\);分子分母同除以\(b^2\)变形得到,\(z=\cfrac{2(\frac{a}{b})^2+4\frac{a}{b}-3}{(\frac{a}{b})^2+\frac{a}{b}+1}\xlongequal{t=\frac{a}{b}}\cfrac{2t^2+4t-3}{t^2+t+1}\)

③\(\cfrac{a\sin\theta+b\cos\theta}{c\sin\theta+d\cos\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的一次齐次式]{分子分母同除以cos\theta}\cfrac{a\tan\theta+b}{c\tan\theta+d}\) (\(a,b,c,d\)为常数);

④\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}=\cfrac{2sin\theta cos\theta-cos^2\theta}{2sin^2\theta+cos^2\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的二次齐次式]{分子分母同除以cos^2\theta}\cfrac{2tan\theta-1}{2tan^2\theta+1}\)

⑤\(a^2-5ab+4b^2>0\),同除以\(b^2\)得到,\((\cfrac{a}{b})^2-5\cfrac{a}{b}+4>0\),得到\(\cfrac{a}{b}<1\)或\(\cfrac{a}{b}>4\);

参见齐次式的相关

  • 4、除法分配律(分数裂项),分式变形时最常用。

\(①\cfrac{b+c}{a}=\cfrac{b}{a}+\cfrac{c}{a}\);\(②\cfrac{a-b}{ab}=\cfrac{1}{b}-\cfrac{1}{a}\);

但是她更多的时候表示为整式形式,如\(a_n-a_{n+1}=ka_{n+1}a_n\),

两边同除以\(a_{n+1}a_n\),可以变形为\(\cfrac{1}{a_{n+1}}-\cfrac{1}{a_n}=k\);

  • 5、分子常数化(化为部分分式,也可以理解为使用了变量集中策略,这样的变形在研究函数的单调性,值域等问题时使用频度比较高)

\(①y=\cfrac{2x-1}{x-1}=\cfrac{(2x-2)+1}{x-1}=2+\cfrac{1}{x-1}\);

\(②y=\cfrac{2x}{x+4}=\cfrac{2}{1+\frac{4}{x}}\);

\(③y=\cfrac{a^x-1}{a^x+1}=\cfrac{(a^x+1)-2}{a^x+1}=1-\cfrac{2}{a^x+1}\);

\(④y=\cfrac{2x^2-4x+3}{x-1}=\cfrac{2(x-1)^2+1}{x-1}=2(x-1)+\cfrac{1}{x-1}\);1

  • 6、分母有理化,常常为数列中的裂项相消法准备:

①\(\cfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\cfrac{1\cdot(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\cfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}\);

②\(\cfrac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}=\cfrac{1\cdot (\sqrt{x^2+1}+x)}{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}=\sqrt{x^2+1}+x\);2

③\(\cfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=\cfrac{1\cdot (\sqrt{x^2+1}-x)}{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}=\sqrt{x^2+1}-x\);

  • 7、分子有理化,常常为求函数或数列的极限或大小比较而准备:

①\(\sqrt{a}-\sqrt{b}=\cfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{1\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\cfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\);

②\(\sqrt{n^2+1}-n=\cfrac{\sqrt{n^2+1}-n}{1}=\cfrac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{1\cdot (\sqrt{n^2+1}+n)}=\cfrac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}\);3

  • 8、配方,为二次函数对称轴,圆锥曲线方程等准备:①②③④⑤⑥

①\(a^2\pm ab+b^2=(a\pm \cfrac{b}{2})^2+\cfrac{3}{4}b^2\);②\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\);(常与韦达定理相关,与解析几何或坐标系与参数方程题目相关)

③\(x^2+\cfrac{1}{x^2}=(x+\cfrac{1}{x})^2-2\);④\(y=ax^2+bx+c=a(x+\cfrac{b}{2a})^2+\cfrac{4ac-b^2}{4a}(a\neq 0)\)(二次函数对称轴)

⑤\(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\cfrac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\ge 0\)(与均值不等式相关,常引申为\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac(当且仅当a=b=c时取到等号)\))

  • 9、因式分解、乘法公式,常与解方程,解不等式相关:

①\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\);②\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\);

③\(a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2\);④\(a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\);

⑤\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\);⑥\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\);[^wh03]

[^wh03]实际高三数学教学和考试中的相关内容常常是这样的:
①\(x^2-5\sqrt{2}x+8\ge 0\),即\((x-\sqrt{2})(x-4\sqrt{2})\ge 0\);
②\(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\leq 0\),即\([x-(m+2)][x-(m-1)]\leq 0\);
③\(x^2-3mx+(m-1)(2m+1)\ge 0\);即\([x-(m-1)][x-(2m+1)]\ge 0\);
④\(x^2-(a+a^2)x+a^3\leq 0\),即\((x-a)(x-a^2)\leq 0\);
⑤\(x^2-(a+1)x+a\leq 0\),即\((x-1)(x-a)\leq 0\);
⑥\(x^2-(2a+1)x+a(a+1)\leq 0\);即\((x-1)[x-(a+1)]\leq 0\);
⑦\(\cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a\neq 1)\);即\((x-2a)[x-(a^2+1)]<0\),解集为\((2a,a^2+1)\);
⑧\(x^2+(m+4)x+m+3<0\),即\((x+1)[x+(m+3)]<0\);
⑨\(x^2-(a+\cfrac{1}{a})x+1<0\),即\((x-a)(x-\cfrac{1}{a})<0\);
⑩\(f'(x)=x+(a-e)-\cfrac{ae}{x}=\cfrac{x^2+(a-e)x-ae}{x}=\cfrac{(x+a)(x-e)}{x}\);
⑾\(x^2-2ax+a^2-4=x^2-2ax+(a+2)(a-2)=[x-(a-2)][x-(a+2)]\leq0\),即\(a-2\leq x\leq a+2\) ;

  • 10、整体代换,常与函数的变形、函数的性质的变换和推导有关,

①、\(f(x+4)=f(x)\)或者\(f(x+2)=f(x-2)\Longrightarrow T=4\);

②、\(f(x+a)=-f(x)\Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=0\Longrightarrow T=2a\;\;\;\;\;\)4

\(f(x+a)=b-f(x)\Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=b\Longrightarrow T=2a\;\;\;\;\;\)5

③、\(f(x+a)=\cfrac{k}{f(x)}(k\neq 0)\Leftrightarrow f(x+a)f(x)=k \Longrightarrow T=2a\);6

④、\(f(x+2)=f(x+1)-f(x)\Longrightarrow f(x+3)=-f(x)\Longrightarrow T=6\)

或者\(f(n+2)=f(n+1)-f(n)\Longrightarrow f(n+3)=-f(n)\Longrightarrow T=6\)

⑤、抽象函数的对称性

⑥、函数性质的综合运用

  • 11、常数代换

①\(\cfrac{1-tan15^{\circ}}{1+tan15^{\circ}}=\cfrac{tan45^{\circ}-tan15^{\circ}}{1+tan45^{\circ}\cdot tan15^{\circ}}=\tan30^{\circ}=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\).

②\(a+b=2\),且\(a>0\),\(b>0\),求\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}\)的最小值;

  • 12、能合二为一或一分为二

  • 13、需要化简的

  • 10、一元二次方程相关,设\(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\)的两个根为\(x_1,x_2\),\(\Delta=b^2-4ac\),

①求根公式:\(x_{1,2}=\cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}(\Delta >0)\);\(|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\cfrac{\sqrt{\Delta }}{|a|}\);

②韦达定理:\(\begin{cases} x_1+x_2=-\cfrac{b}{a} \\ x_1x_2=\cfrac{c}{a} \end{cases}\),如果解关于\(x_1,x_2\)的二元方程,就可以通过构造方程\(x^2+\cfrac{b}{a}x+\cfrac{c}{a}=0\)再解。

③因式分解:\(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\);

④【补充】\(ax+b=0\)对所有\(x\in R\)都成立,则等价于\(a=b=0\);\(am+bn=0\)对所有\(m,n\in R\)都成立,则等价于\(a=b=0\);

\(ax^2+bx+c=0\)对所有\(x\in R\)都成立,则等价于\(a=b=c=0\);\(am^2+bmn+cn^2=0\)对所有\(m,n\in R\)都成立,则等价于\(a=b=c=0\);

  • 11、三角形的基础知识相关

①三边关系:\(a+b>c\)且\(b+c>a\)且\(c+a>b\),由这个关系可以推出任意两边之差小于第三边;故只需要记忆一组公式即可。

②\(n\)边形内角和\((n-2)\cdot 180^{\circ}\);\(n\)边形外角和:\(360^{\circ}\);

③\(a>b \Leftrightarrow A>B\);延伸到高中得到\(a>b \Leftrightarrow A>B\Leftrightarrow sinA>sinB \Leftrightarrow cosA<cosB\);

  • 12、引入比例因子简化运算

借助比例因子简化运算

  • 13、

  • 14、特殊方程组

已知\(\left\{\begin{array}{l}{xy=12}\\{yz=8}\\{xz=6}\end{array}\right.\),求解方程组;

分析:三式相乘再开方,得到\(xyz=24\),然后与已知的三个式子相除,

得到\(x=3\),\(y=4\),\(z=2\)。

  • 15、和分比性质

由\(\cfrac{x}{\sqrt{3}}=\cfrac{2-x}{2\sqrt{3}}\)解方程,则可得到\(\cfrac{2-x}{x}=\cfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\),

利用和比性质得到,\(\cfrac{2-x+x}{x}=\cfrac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\),

即\(\cfrac{2}{x}=\cfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=3\),则\(x=\cfrac{2}{3}\);

几何部分


  1. 引例2、已知函数\(f(x)=mlnx+x^2-mx\)在\((1,+\infty)\)上单调递增,求m的取值范围____________.
    【分析】由函数单调递增,转化为\(f'(x)≥0\)在\((1,+\infty)\)上恒成立,然后分离参数得到\(m≤g(x)\),用均值不等式求新函数\(g(x)\)的最小值即可。
    【解答】由题目可知,\(f'(x)≥0\)在\((1,+\infty)\)上恒成立,且\(f'(x)\)不恒为零,
    则有\(f'(x)=\cfrac{m}{x}+2x-m=\cfrac{2x^2-mx+m}{x}≥0\)在\((1,+\infty)\)上恒成立,
    即\(2x^2-mx+m≥0\)在\((1,+∞)\)上恒成立,常规法分离参数得到
    m≤\(\cfrac{2x^2}{x-1}=\cfrac{2(x-1)^2+4x-2}{x-1}=\cfrac{2(x-1)^2+4(x-1)+2}{x-1}=2(x-1)+\cfrac{2}{x-1}+4\)
    由于\(x>1\),故\(2(x-1)+\cfrac{2}{x-1}+4≥2\sqrt{4}+4=8\),当且仅当\(x=2\)时取到等号。
    故\(m≤8\),当\(m=8\)时,函数不是常函数,也满足题意,故\(m≤8\)。

  2. 【具体应用①】比如函数\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\),则可知\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)\),即\(f(x)+f(-x)=ln1=0\),即函数\(f(x)\)为奇函数;
    那么函数\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)+1\)呢,同理可得,\(f(x)+f(-x)=2\),即函数\(f(x)\)关于点\((0,1)\)对称。
    【具体应用②】比如函数\(g(x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}+sinx)\),则可知\(g(-x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}-sinx)\),
    即\(g(x)+g(-x)=lg1=0\),即函数\(g(x)\)为奇函数;

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