前言

与其不停的抱怨学生的运算弱鸡，不如我们自己静下心来，好好的作以整理和总结，以期对他们有所帮助。另外还要注意体会数学化简的方向和方法；2019高考数学Ⅱ卷的第4题，让许多学生不知所云，就是例证。

引例【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第4题】原题目略，将高考真题中的物理知识背景省略，高度抽象就得到了如下的数学题目：

已知公式：\(\cfrac{M_1}{(R+r)^2}+\cfrac{M_2}{r^2}=(R+r)\cfrac{M_1}{R^3}\)，且已知\(\alpha=\cfrac{r}{R}\)，\(\cfrac{3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5}{(1+\alpha)^2}\approx 3\alpha^3\)，试用\(M_1\)，\(M_2\)，\(R\)表示\(r\)的近似值；2019高考数学理科Ⅱ卷解析版

代数部分

• 1、四则运算的互化

加法变减法，\(\cfrac{y+2}{x+1}=\cfrac{y-(-2)}{x-(-1)}\)；比如用在斜率公式中。

乘法变除法，\(3x^2+4y^2=12\)变形为\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1\)，\(3x^2+4y^2=1\)变形为\(\cfrac{x^2}{\frac{1}{3}}+\cfrac{y^2}{\frac{1}{4}}=1\)，比如用在求长轴和短轴的长。

• 2、 繁分式化简分式 ：

\(\cfrac{\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}}{\frac{3}{ac}-\frac{1}{b}+\frac{4}{bc}}=\cfrac{(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c})\times abc}{(\frac{3}{ac}-\frac{1}{b}+\frac{4}{bc})\times abc}=\cfrac{bc+2ac+ab}{3b-ac+4a}\)；同乘

• 3、分式中负指数幂化为正指数幂：

\(\cfrac{a^x+a^{-x}}{a^x-a^{-x}}=\cfrac{(a^x+a^{-x})\times a^x}{(a^x-a^{-x})\times a^x}=\cfrac{a^{2x}+1}{a^{2x}-1}\)；同乘

参见分式型函数常用变形

• 4、指数运算、对数运算、根式运算

参见指数对数的运算

• 5、齐次式变形，为函数求值域，三角函数化简、变形、求值做准备：

①\(z=\cfrac{a+\sqrt{2}b}{\sqrt{2}a+b}\)；分子分母同除以\(b\)变形得到，\(z=\cfrac{\frac{a}{b}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}\frac{a}{b}+1}\xlongequal{t=\frac{a}{b}}\cfrac{t+\sqrt{2}}{\sqrt{2}t+1}\)

②\(z=\cfrac{2a^2+4ab-3b^2}{a^2+ab+b^2}\)；分子分母同除以\(b^2\)变形得到，\(z=\cfrac{2(\frac{a}{b})^2+4\frac{a}{b}-3}{(\frac{a}{b})^2+\frac{a}{b}+1}\xlongequal{t=\frac{a}{b}}\cfrac{2t^2+4t-3}{t^2+t+1}\)

③\(\cfrac{a\sin\theta+b\cos\theta}{c\sin\theta+d\cos\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的一次齐次式]{分子分母同除以cos\theta}\cfrac{a\tan\theta+b}{c\tan\theta+d}\) (\(a,b,c,d\)为常数)；

④\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}=\cfrac{2sin\theta cos\theta-cos^2\theta}{2sin^2\theta+cos^2\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的二次齐次式]{分子分母同除以cos^2\theta}\cfrac{2tan\theta-1}{2tan^2\theta+1}\)

⑤\(a^2-5ab+4b^2>0\)，同除以\(b^2\)得到，\((\cfrac{a}{b})^2-5\cfrac{a}{b}+4>0\)，得到\(\cfrac{a}{b}<1\)或\(\cfrac{a}{b}>4\)；

参见齐次式的相关

• 4、除法分配律(分数裂项)，分式变形时最常用。

\(①\cfrac{b+c}{a}=\cfrac{b}{a}+\cfrac{c}{a}\)；\(②\cfrac{a-b}{ab}=\cfrac{1}{b}-\cfrac{1}{a}\)；

但是她更多的时候表示为整式形式，如\(a_n-a_{n+1}=ka_{n+1}a_n\)，

两边同除以\(a_{n+1}a_n\)，可以变形为\(\cfrac{1}{a_{n+1}}-\cfrac{1}{a_n}=k\)；

• 5、分子常数化(化为部分分式，也可以理解为使用了变量集中策略，这样的变形在研究函数的单调性，值域等问题时使用频度比较高)

\(①y=\cfrac{2x-1}{x-1}=\cfrac{(2x-2)+1}{x-1}=2+\cfrac{1}{x-1}\)；

\(②y=\cfrac{2x}{x+4}=\cfrac{2}{1+\frac{4}{x}}\)；

\(③y=\cfrac{a^x-1}{a^x+1}=\cfrac{(a^x+1)-2}{a^x+1}=1-\cfrac{2}{a^x+1}\)；

\(④y=\cfrac{2x^2-4x+3}{x-1}=\cfrac{2(x-1)^2+1}{x-1}=2(x-1)+\cfrac{1}{x-1}\)；¹

• 6、分母有理化，常常为数列中的裂项相消法准备：

①\(\cfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\cfrac{1\cdot(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\cfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}\)；

②\(\cfrac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}=\cfrac{1\cdot (\sqrt{x^2+1}+x)}{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}=\sqrt{x^2+1}+x\)；²

③\(\cfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=\cfrac{1\cdot (\sqrt{x^2+1}-x)}{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}=\sqrt{x^2+1}-x\)；

• 7、分子有理化，常常为求函数或数列的极限或大小比较而准备：

①\(\sqrt{a}-\sqrt{b}=\cfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{1\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\cfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)；

②\(\sqrt{n^2+1}-n=\cfrac{\sqrt{n^2+1}-n}{1}=\cfrac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{1\cdot (\sqrt{n^2+1}+n)}=\cfrac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}\)；³

• 8、配方，为二次函数对称轴，圆锥曲线方程等准备：①②③④⑤⑥

①\(a^2\pm ab+b^2=(a\pm \cfrac{b}{2})^2+\cfrac{3}{4}b^2\)；②\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)；(常与韦达定理相关，与解析几何或坐标系与参数方程题目相关)

③\(x^2+\cfrac{1}{x^2}=(x+\cfrac{1}{x})^2-2\)；④\(y=ax^2+bx+c=a(x+\cfrac{b}{2a})^2+\cfrac{4ac-b^2}{4a}(a\neq 0)\)(二次函数对称轴)

⑤\(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\cfrac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\ge 0\)(与均值不等式相关，常引申为\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac(当且仅当a=b=c时取到等号)\))

• 9、因式分解、乘法公式，常与解方程，解不等式相关：

①\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)；②\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)；

③\(a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2\)；④\(a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\)；

⑤\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)；⑥\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)；[^wh03]

[^wh03]实际高三数学教学和考试中的相关内容常常是这样的：
①\(x^2-5\sqrt{2}x+8\ge 0\)，即\((x-\sqrt{2})(x-4\sqrt{2})\ge 0\)；
②\(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\leq 0\)，即\([x-(m+2)][x-(m-1)]\leq 0\)；
③\(x^2-3mx+(m-1)(2m+1)\ge 0\)；即\([x-(m-1)][x-(2m+1)]\ge 0\)；
④\(x^2-(a+a^2)x+a^3\leq 0\)，即\((x-a)(x-a^2)\leq 0\)；
⑤\(x^2-(a+1)x+a\leq 0\)，即\((x-1)(x-a)\leq 0\)；
⑥\(x^2-(2a+1)x+a(a+1)\leq 0\)；即\((x-1)[x-(a+1)]\leq 0\)；
⑦\(\cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a\neq 1)\)；即\((x-2a)[x-(a^2+1)]<0\)，解集为\((2a，a^2+1)\)；
⑧\(x^2+(m+4)x+m+3<0\)，即\((x+1)[x+(m+3)]<0\)；
⑨\(x^2-(a+\cfrac{1}{a})x+1<0\)，即\((x-a)(x-\cfrac{1}{a})<0\)；
⑩\(f'(x)=x+(a-e)-\cfrac{ae}{x}=\cfrac{x^2+(a-e)x-ae}{x}=\cfrac{(x+a)(x-e)}{x}\)；
⑾\(x^2-2ax+a^2-4=x^2-2ax+(a+2)(a-2)=[x-(a-2)][x-(a+2)]\leq0\)，即\(a-2\leq x\leq a+2\) ；

• 10、整体代换，常与函数的变形、函数的性质的变换和推导有关，

①、\(f(x+4)=f(x)\)或者\(f(x+2)=f(x-2)\Longrightarrow T=4\)；

②、\(f(x+a)=-f(x)\Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=0\Longrightarrow T=2a\;\;\;\;\;\)⁴

\(f(x+a)=b-f(x)\Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=b\Longrightarrow T=2a\;\;\;\;\;\)⁵

③、\(f(x+a)=\cfrac{k}{f(x)}(k\neq 0)\Leftrightarrow f(x+a)f(x)=k \Longrightarrow T=2a\);⁶

④、\(f(x+2)=f(x+1)-f(x)\Longrightarrow f(x+3)=-f(x)\Longrightarrow T=6\)

或者\(f(n+2)=f(n+1)-f(n)\Longrightarrow f(n+3)=-f(n)\Longrightarrow T=6\)

⑤、抽象函数的对称性

⑥、函数性质的综合运用

• 11、常数代换

①\(\cfrac{1-tan15^{\circ}}{1+tan15^{\circ}}=\cfrac{tan45^{\circ}-tan15^{\circ}}{1+tan45^{\circ}\cdot tan15^{\circ}}=\tan30^{\circ}=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\).

②\(a+b=2\)，且\(a>0\)，\(b>0\)，求\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}\)的最小值；

③

• 12、能合二为一或一分为二

• 13、需要化简的

• 10、一元二次方程相关，设\(ax^2+bx+c=0（a\neq 0）\)的两个根为\(x_1，x_2\)，\(\Delta=b^2-4ac\)，

①求根公式：\(x_{1，2}=\cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}（\Delta >0）\)；\(|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\cfrac{\sqrt{\Delta }}{|a|}\)；

②韦达定理：\(\begin{cases} x_1+x_2=-\cfrac{b}{a} \\ x_1x_2=\cfrac{c}{a} \end{cases}\)，如果解关于\(x_1，x_2\)的二元方程，就可以通过构造方程\(x^2+\cfrac{b}{a}x+\cfrac{c}{a}=0\)再解。

③因式分解：\(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\)；

④【补充】\(ax+b=0\)对所有\(x\in R\)都成立，则等价于\(a=b=0\)；\(am+bn=0\)对所有\(m，n\in R\)都成立，则等价于\(a=b=0\)；

\(ax^2+bx+c=0\)对所有\(x\in R\)都成立，则等价于\(a=b=c=0\)；\(am^2+bmn+cn^2=0\)对所有\(m，n\in R\)都成立，则等价于\(a=b=c=0\)；

• 11、三角形的基础知识相关

①三边关系：\(a+b>c\)且\(b+c>a\)且\(c+a>b\)，由这个关系可以推出任意两边之差小于第三边；故只需要记忆一组公式即可。

②\(n\)边形内角和\((n-2)\cdot 180^{\circ}\)；\(n\)边形外角和：\(360^{\circ}\)；

③\(a>b \Leftrightarrow A>B\)；延伸到高中得到\(a>b \Leftrightarrow A>B\Leftrightarrow sinA>sinB \Leftrightarrow cosA<cosB\)；

• 12、引入比例因子简化运算

借助比例因子简化运算

• 13、

• 14、特殊方程组

已知\(\left\{\begin{array}{l}{xy=12}\\{yz=8}\\{xz=6}\end{array}\right.\)，求解方程组；

分析：三式相乘再开方，得到\(xyz=24\)，然后与已知的三个式子相除，

得到\(x=3\)，\(y=4\)，\(z=2\)。

• 15、和分比性质

由\(\cfrac{x}{\sqrt{3}}=\cfrac{2-x}{2\sqrt{3}}\)解方程，则可得到\(\cfrac{2-x}{x}=\cfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)，

利用和比性质得到，\(\cfrac{2-x+x}{x}=\cfrac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)，

即\(\cfrac{2}{x}=\cfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=3\)，则\(x=\cfrac{2}{3}\)；

几何部分

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1. 引例2、已知函数\(f(x)=mlnx+x^2-mx\)在\((1，+\infty)\)上单调递增，求m的取值范围____________．
   【分析】由函数单调递增，转化为\(f'(x)≥0\)在\((1，+\infty)\)上恒成立，然后分离参数得到\(m≤g(x)\)，用均值不等式求新函数\(g(x)\)的最小值即可。
   【解答】由题目可知，\(f'(x)≥0\)在\((1，+\infty)\)上恒成立，且\(f'(x)\)不恒为零，
   则有\(f'(x)=\cfrac{m}{x}+2x-m=\cfrac{2x^2-mx+m}{x}≥0\)在\((1，+\infty)\)上恒成立，
   即\(2x^2-mx+m≥0\)在\((1，+∞)\)上恒成立，常规法分离参数得到
   m≤\(\cfrac{2x^2}{x-1}=\cfrac{2(x-1)^2+4x-2}{x-1}=\cfrac{2(x-1)^2+4(x-1)+2}{x-1}=2(x-1)+\cfrac{2}{x-1}+4\)
   由于\(x>1\)，故\(2(x-1)+\cfrac{2}{x-1}+4≥2\sqrt{4}+4=8\)，当且仅当\(x=2\)时取到等号。
   故\(m≤8\)，当\(m=8\)时，函数不是常函数，也满足题意，故\(m≤8\)。↩

2. 【具体应用①】比如函数\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)，则可知\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)，即\(f(x)+f(-x)=ln1=0\)，即函数\(f(x)\)为奇函数；
   那么函数\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)+1\)呢，同理可得，\(f(x)+f(-x)=2\)，即函数\(f(x)\)关于点\((0，1)\)对称。
   【具体应用②】比如函数\(g(x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}+sinx)\)，则可知\(g(-x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}-sinx)\)，
   即\(g(x)+g(-x)=lg1=0\)，即函数\(g(x)\)为奇函数；