前言

持续整理中......

书写错误

• \(3\times -1=-3\)，应该是\(3\times (-1)=-3\); \(\cfrac{1}{2}\)的\(3\)次方应该写成\((\cfrac{1}{2})^3=\cfrac{1}{8}\);

算理错误

• 集合的包含关系中，在转化为不等式组模型时端点的空心和实心是否包含容易出错；

• 研究函数时不注意优先确定函数的定义域出错；比如研究函数\(f(x)=x+lnx\)，用导数求导时先得到\(f'(x)=1+\cfrac{1}{x}\)，此时的定义域不是\(x\neq 0\)，而是\(x>0\)，因为它是依托于原函数的定义域展开研究的，故其定义域应该是原函数的定义域。

• 整式、分式互化时易错，分式化为整式，容易扩大字母取值范围；整式化为分式，容易缩小字母取值范围；

引例1将\(\cfrac{y}{x+2}\cdot \cfrac{y}{x-2}=-\cfrac{1}{2}\)，化简整理为\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{2}=1\)，分母消失，故字母取值扩大，故需要添加条件限制，则本题应该化简为\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{2}=1(|x|\neq 2)\)，或者\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{2}=1(y\neq 0)\)。

引例2由\(a_{n+1}=2a_n\)，说明数列\(\{a_n\}\)为公比为\(2\)的等比数列，就是错误的，原因是当\(a_n=0\)时，数列为所有项都为\(0\)的常数列，不能构成等比数列，故还需要验证数列的首项\(a_1\)是否为\(0\)，若不为\(0\)，则构成等比数列，若为\(0\)，则不能构成等比数列，这是学生极容易犯错之处。

• 对数变形时容易出错

引例3将\(y=lnx^2\)变形为\(y=2lnx\)，就是错误的，前者字母\(x\neq 0\)，后者\(x>0\)，故正确的化简变形应该时\(y=2ln|x|\).

• 解对数不等式时容易漏掉定义域限制出错。

如由\(log_2x<1\)，得到\(x<2\)就是错的，应该是\(x>0\)且\(x<2\)，即\(0<x<2\)。

如\(y=lgx+lg(x-2)\)，定义域应该为\(x>0\)且\(x-2>0\)的交集，如果由\(y=lgx+lg(x-2)=lg(x^2-2x)\)，限制\(x^2-2x>0\)，结果一定是错误的。

• 已知函数的极值点求参数的取值时容易犯错

引例4函数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2\)在\(x=1\)处有极值\(10\)，求\(a，b\)的值。

主要出错原因，“\(x_0\)为极值点”是可导函数\(f'(x_0)=0\)的充分不必要条件。¹

• 应用不等式性质变形时易错；

• 利用函数的单调性求参数的范围时易错，给定单调区间求参数取值范围和存在单调区间求参数取值范围问题容易混淆出错；

• 利用直线的平行或垂直的充要条件时易错

• 设直线方程为\(y=kx+b\)时，不判断是否包含斜率不存在的情形出错

• 等比数列的求和\(S_n=\cfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)不判断\(q\)是否为\(1\)出错

• 概念易错²

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1. 分析：\(f'(x)=3x^2+2ax+b\)，由\(\begin{cases}f'(1)=0\\f(1)=10\end{cases}\)，
   得到\(\begin{cases}3+2a+b=0\\a^2+a+b+1=10\end{cases}\)，
   解得\(\begin{cases}a=4\\b=-11\end{cases}\)，或\(\begin{cases}a=-3\\b=3\end{cases}\)，
   注意到此需要检验，当\(a=-3，b=3\)时，\(f'(x)=3(x-1)^2\)，
   此时\(x=1\)是导函数\(f'(x)\)的不变号零点，
   故在\(x=1\)处不能取到极值。
   当\(a=4，b=-11\)时，\(f'(x)=(3x+11)(x-1)\)，
   此时\(x=1\)是导函数\(f'(x)\)的变号零点，故在\(x=1\)处能取到极值。
   综上所述，\(a=4，b=-11\)。↩

2. 函数\(f(x)=x^2-1\)的零点是\((－1，0)\)和\((1，0)\)．
   分析：错误，零点不是点，应该改为函数的零点为\(x=-1\)和\(x=1\)
   反思：类似的理科概念有：截距(是坐标)不是距离(长度单位)，光年(长度单位)不是年(时间单位)；最值点(横坐标)不是点，极值点(横坐标)不是点；↩