事件

单位事件 事件空间 随机事件

每个不能再被划分的事件 —— 单位事件 —— 用 \(E\) 表示

可能发生的所有单位事件的集合 —— 事件空间 —— 用 \(S\) 表示

事件空间的子集 —— 随机事件 —— 用大写字母 \(A~B~C...\) 表示

事件的计算

和事件 ：相当于 并集 。只需其中之一发生，就发生了。

积事件 ：相当于 交集 。必须要全都发生，才计算概率。

概率

定义

古典定义

如果一个实验满足：实验只有有限个基本结果，每个结果出现可能性一样。对于 \(A\) 事件，他发生的概率 \(P(A)=\frac{m}{n}\) ，\(n\) 表示可能出现的基本结果的总数目， \(m\) 表示事件 \(A\) 包含的基本结果的数量

统计定义

如果在一定条件下，进行了 \(n\) 次试验，事件 \(A\) 发生了 \(N_A\) 次，如果随着 \(n\) 逐渐增大，频率 \(\frac{N_A}{n}\) 逐渐稳定在某一数值 \(p\) 附近，那么数值 \(p\) 称为事件 \(A\) 在该条件下发生的概率，记做 \(P(A) = p\)

公理化定义

设 \(E\) 是随机试验，\(S\) 是它的样本空间。对 \(E\) 的每一个事件 \(A\) 赋予一个实数，记为 \(P(A)\)，称为事件 \(A\) 的概率，这里 \(P(A)\) 是一个集合函数，\(P(A)\) 满足下列条件：

• 非负性 ：对于一个事件 \(A\)，有概率 \(P(A)\in [0,1]\)
• 规范性 ：事件空间的概率值为 \(1\) ， \(P(S)=1\)
• 容斥性 ：若 \(P(A+B)=P(A)+P(B)\)，则 \(A\) 和 \(B\) 互为独立事件

貌似没什么用（雾

计算

• 广义加法公式 ： 对任意两个事件 \(A\),\(B\) ，\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
• 条件概率 ： 记 \(P(B\mid A)\) 表示在 \(A\) 事件发生的前提下，\(B\) 事件发生的概率，则 \(\displaystyle P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\) ，其中 \(P(AB)\) 为事件 \(A\) 和事件 \(B\) 同时发生的概率
• 乘法公式 ： \(P(AB)=P(A)·P(B\mid A)=P(B)·P(A\mid B)\)
• 全概率公式 ： 若事件 \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) 构成一个完备的事件且都有正概率，即 \(\forall i,j,A_i\cap A_j=\varnothing\) 且 \(\displaystyle \sum^n_{i=1}A_i=1\)，有 \(\displaystyle \sum_{i=1}^n P(A_i)P(B\mid A_i)\)
• 贝叶斯定理 ： \(\displaystyle P(B_i\mid A)=\frac {P(B_i)P(A\mid B_i)}{\sum\limits_{j=1}^nP(B_j)(P(A\mid B_j))}\)

期望

定义

在一定区间内变量取值为有限个，或数值可以一一列举出来的变量称为离散型随机变量。一个离散性随机变量的数学期望是试验中每次可能的结果乘以其结果概率的总和

说白了就是 \(\displaystyle E=\sum^{结果数}_{i=1}事件i的概率\times事件i的结果\)

性质

• 全期望公式 ：\(E(Y)=E[E(Y\mid X)]\) ，可由全概率公式证明。
• 线性性质 1 : 对于任意两个随机变量 \(X,Y\)（ 不要求相互独立 ），有 \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\) 。利用这个性质，可以将一个变量拆分成若干个互相独立的变量，分别求这些变量的期望值，最后相加得到所求变量的值
• 线性性质 2 : 当两个随机变量 \(X,Y\) 相互独立时，有 \(E(XY)=E(X)E(Y)\)
• 除非