傅立叶级数与傅立叶变换

$\;\;\,\quad$傅立叶级数/变换的作用是求时域信号的频域表示，傅立叶级数作用于周期信号，而对于非周期信号可以使用傅立叶变换，而在引入冲激函数$\delta(t)$δ(t)之后就可以对周期信号也做傅立叶变换。

$\;\;\,\quad$傅立叶级数。在上一篇文章中，我们讨论了相关和正交的概念——相关函数用内积用来表述计算两个信号的相似性；用正交性来尽可能简单地描述地描述信号。从这点出发，结合前人研究的经验，傅立叶想到使用三角函数去描述周期信号（后面拓展到非周期信号），将一个周期信号用三角函数的加权和表示，这就是傅立叶级数/变换的来源。
$\;\;\,\quad$可以证明，$\{1,\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...\}${1,cos(x),sin(x),cos(2x),sin(2x),...}是一个完备正交函数集¹，傅立叶将用这个函数集去对信号进行分解。上一篇文章说了，可以把一个信号表示为函数集内各个函数的加权和，即下式。那么问题来了，系数$c_i$ci​怎么求呢？
$f(x)=\sum_{i=1}^{n}{c_ig_i(x)}$f(x)=i=1∑n​ci​gi​(x) $\;\;\,\quad$这就要用到相关了。理所当然地，既然是信号分解，那系数就应该表示在这个“方向”上投影的大小（如果不好理解，想想高中物理中，对力的正交分解）。而相关性就是用投影的大小表示的，你说巧不巧。既然这样，那这个系数$c_i$ci​就很好求了！大概应该长这样：
$c_i=\int_{-\infty}^{\infty}{f(t)g_i(t)dt}$ci​=∫−∞∞​f(t)gi​(t)dt $\;\;\,\quad$嗯，这么看，$g_i(t)$gi​(t)有了，$c_i$ci​怎么算也知道了，可以把傅立叶放出来了。
$\bm{f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}{a_n\cos{(n\omega_nt)}+b_n\sin{(n\omega_nt)}}} \\其中，a_0=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\times1 dt（直流分量） \\a_n=\frac{\textbf{2}}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cos{(n\omega_1t)}dt （余弦分量） \\b_n=\frac{\textbf{2}}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\sin{(n\omega_1t)}dt（正弦分量） \\t_0任取，T为信号周期，\omega 为角频率，\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$f(t)=a0​+n=1∑∞​an​cos(nωn​t)+bn​sin(nωn​t)其中，a0​=T1​∫t0​t0​+T​f(t)×1dt（直流分量）an​=T2​∫t0​t0​+T​f(t)cos(nω1​t)dt（余弦分量）bn​=T2​∫t0​t0​+T​f(t)sin(nω1​t)dt（正弦分量）t0​任取，T为信号周期，ω为角频率，ω=2πf=T2π​ $\;\;\,\quad$看上去像是这么一回事儿，但是怎么多了个$\frac{1}{T}$T1​，甚至还有$\frac{\textbf{2}}{T}$T2​呢？为了公平起见，取平均。如果不取平均，周期越长的信号积分值可能会越大，对周期短的信号不公平。那分子上的“2”又是从哪里冒出来的呢？这是个好问题！那不如再问多一个问题，为啥求和的范围是$n=1$n=1到$\infty$∞呢？好像没有规定$n$n不能为负数吧？不对，$n$n怎么可能是负数！如果$n$n是负数那岂不是出现了负频率了？那么问题又来了，负频率真的不存在么，如果存在它有什么意义呢？如果想深究，请看附录²，我们就暂且承认它存在吧。引入了负频率之后就很好解释了，本来应该是$\sum_{-\infty}^{\infty}$∑−∞∞​的，但是这么巧，对我们用到的实信号而言，正负频率系数是相同的，为了计算方便就取一半，$\sum_{n=1}^{\infty}$∑n=1∞​，同时系数乘以2，完事儿~

$\;\;\,\quad$傅立叶级数的“简单”表示。傅立叶级数的原理其实就是上面所说的，把原信号正交分解，再求系数。只不过，在一个式子里面即有cos也有sin，写起来有点长。人是很懒的，能不能少写点呢？这就要用到高中所学的cos和sin的合并公式了，傅立叶级数就可以写成
$\bm{f(t)=c_0+\sum_{n=1}^{\infty}{c_n\cos{(n\omega_nt+\varphi_n)}}} \\其中，c_0=a_0，c_n^2=a_n^2+b_n^2，\varphi_n=\arctan(-\frac{b_n}{a_n})$f(t)=c0​+n=1∑∞​cn​cos(nωn​t+φn​)其中，c0​=a0​，cn2​=an2​+bn2​，φn​=arctan(−an​bn​​) $\;\;\,\quad$能不能再简单点呢？那就引入复频率吧！欧拉老爷子曾经说过， $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$eix=cos(x)+isin(x)，再做一个$x=n\omega t$x=nωt的变量代换，然后我们得到了指数形式的傅立叶级数：
$\bm{f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_ne^{j\omega_nt}} \\其中，F_n=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{\textbf{-}j\omega_nt}dt$f(t)=n=−∞∑∞​Fn​ejωn​t其中，Fn​=T1​∫t0​t0​+T​f(t)e-jωn​tdt $\;\;\,\quad$多简洁！注意，积分是$\sum_{-\infty}^{\infty}$∑−∞∞​，包括了负频率，因此$F_n$Fn​是$\frac{1}{T}$T1​，非常直观。诶不对！为什么求$F_n$Fn​时做相关运算的复指数信号是负值（${\textbf{-}j\omega_nt}$-jωn​t）？

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1. 正交函数集指的是对集合内的每个函数，两两正交，即$\langle{g_i,g_j}\rangle=0(i \neq j)$⟨gi​,gj​⟩=0(i̸​=j)。完备正交函数集，指的是这个集合满足，找不到其他函数，即不在这个函数集内，还能和该集合内的函数正交。详情见郑君里《信号与系统》第六章。 ↩︎

2. 负频率这东西，看起来像是欧拉老头子引入的，只有数学上的意义。由于我们平时看到的信号都是实信号，不好理解这怎么能是负的，其实只是我们的视角问题。回忆一下复数的幅角表示，$c=a+jb=Ae^{j\theta}$c=a+jb=Aejθ，$\theta$θ为正时角度为正逆时针转，负数为顺时针转，而角频率$\omega$ω就是对$\theta$θ求导得到的，负频率就意味着它的“转动方向”是顺时针。这在机械和控制理论上用得可能会更多。由于比较抽象，可以参考别人对负频率的解释加以理解：链接1，链接2，链接3 ↩︎