图形:
函数解析式:
$y[k] = f_1[k]+f_2[k]+f_3[k]+ \cdots f_n[k]$ y[k]=f1[k]+f2[k]+f3[k]+⋯fn[k]
列表表示:
$y[n] = {0,1,2,\bar{3},4,5,6,7,8,9}$ y[n]=0,1,2,3ˉ,4,5,6,7,8,9
其中取有箭头(下箭头)的为序列的起点(即n=0点)

序列的变换

序列的平移

用表达式的写法就是:
$y[n] = x[n-n_0]$ y[n]=x[n−n0]

序列的反转

用表达式的写法就是:
$y[n] = x[-n]$ y[n]=x[−n]

序列的尺度变换

压缩时:
$y[n] = x[2n]$ y[n]=x[2n]
展宽时:
$y[n] = x[n/2]$ y[n]=x[n/2]

实际上,书本上在这里举例的时候用了模拟信号,因为在数字序列中,这个操作又名为:抽取和内插.

序列运算

1.2.3. 翻转,位移,尺度变换见前

相加和相乘
$y[k] = f_1[k]+f_2[k]+f_3[k]+ \cdots f_n[k]$ y[k]=f1[k]+f2[k]+f3[k]+⋯fn[k]
$y[k] = f_1[k]\cdot f_2[k]\cdot f_3[k] \cdots f_n[k]$ y[k]=f1[k]⋅f2[k]⋅f3[k]⋯fn[k]
差分
a.前向差分:
$\triangle f[k] = f[k+1] -f[k]$ △f[k]=f[k+1]−f[k]
b.后向差分
$\triangledown f[k] = f[k] - f[k-1]$ ▽f[k]=f[k]−f[k−1]
求和
$y[k] = \sum^{k}_{n=-\infty }f[n]$ y[k]=n=−∞∑kf[n]
举个比较重要的例子:
$u[k] = \sum^{k}_{n=-\infty }\delta[n]$ u[k]=n=−∞∑kδ[n]
卷积和

连续上:
$y(t) = f(t)\ast h(t) = \int^{\infty}_{\infty}f(\tau)h(t-\tau) d\tau$ y(t)=f(t)∗h(t)=∫∞∞f(τ)h(t−τ)dτ
离散上:
$y[n] = \sum^{+\infty}_{k=- \infty}x[k]h[n-k]$ y[n]=k=−∞∑+∞x[k]h[n−k]
计算的步骤:
1.翻转2. 平移3. 相乘4. 累加

相关
连续上:
$\phi_{xy}(t) = \int ^{\infty}_{-\infty} x(t+\tau) y(\tau)d \tau$ ϕxy(t)=∫−∞∞x(t+τ)y(τ)dτ
离散上:
$r_{xy}[n] = \sum ^{\infty}_{-\infty} x[n] y[n + m]$ rxy[n]=−∞∑∞x[n]y[n+m]
举个较为简单的例子:周期函数的自相关函数
$r_x(m+N) = \frac1N\sum ^{N}_{n=0} x(n) x(n-m-N) = \frac1N\sum ^{N}_{n=0} x(n) x(n-m) = r_x(m)$ rx(m+N)=N1n=0∑Nx(n)x(n−m−N)=N1n=0∑Nx(n)x(n−m)=rx(m)

几个较为重要的序列

单位脉冲序列

$\delta[n] = \begin{cases} 0, \quad n\neq 0 \\1,\quad n=0 \end{cases}$ δ[n]={0,n̸=01,n=0

单位阶跃序列

$u[n] = \begin{cases} 0, \quad n< 0 \\1,\quad n\geq 0 \end{cases}$ u[n]={0,n<01,n≥0

上述两种序列的关系:
单位脉冲序列是单位阶跃序列的一次差分:
$\delta [n] = u[n] -u[n-1]$ δ[n]=u[n]−u[n−1]

单位阶跃序列是单位脉冲序列的求和函数:
$u [n] = \sum^n_{m=-\infty}\delta[m]$ u[n]=m=−∞∑nδ[m]

值得一提的是,可以使用移位脉冲序列来描述任意一个序列中的一位:
$x[n] = \sum^{+\infty}_{k=- \infty}x[k]\delta[n-k]$ x[n]=k=−∞∑+∞x[k]δ[n−k]
当然,这也称为单位脉冲序列的筛选特性,当然,这也可以看成…

矩形序列

$R_N[k] = u[k] -u[k-n_0]$ RN[k]=u[k]−u[k−n0]

DTFT(Discrete-time Fourier Transform)

定义

DTFT:
$X(e^{j\Omega}) = \sum^{+\infty}_{n=- \infty} x[n] e^{-j\Omega n}$ X(ejΩ)=n=−∞∑+∞x[n]e−jΩn
iDTFT:
$x[n] = \frac1{2\pi} \int_{2\pi } X(e^{j\omega})e^{j\Omega } d\Omega$ x[n]=2π1∫2πX(ejω)ejΩdΩ

举个例子:考虑单边信号 $x[n] = a^n u[n]$ x[n]=anu[n]的DTFT:
$X(e^{j\Omega}) = \sum^{+\infty}_{n=- \infty} a^n u[n] e^{-j\Omega n} = \sum^{+\infty}_0 (ae^{-j\Omega})^n = \frac{1}{1-ae^{-j\Omega}}$ X(ejΩ)=n=−∞∑+∞anu[n]e−jΩn=0∑+∞(ae−jΩ)n=1−ae−jΩ1

最后一步由底数小于1的等比数列求和得到

性质

较多,故不作证明

周期性
$X(e^{j(\Omega+2\pi)}) = X(e^{j\Omega})$ X(ej(Ω+2π))=X(ejΩ)
线性性质
$ax_1[n] +bx_2[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} aX_1(e^{j\Omega})+bX_2(e^{j\Omega})$ ax1[n]+bx2[n]⟷FaX1(ejΩ)+bX2(ejΩ)
时移与频移
$x[n-n_0] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} e^{-j\Omega n_0}X(e^{j\Omega})$ x[n−n0]⟷Fe−jΩn0X(ejΩ)
$e^{-j\Omega_0 n}x[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(e^{j(\Omega-\Omega_0})$ e−jΩ0nx[n]⟷FX(ej(Ω−Ω0)
共轭与共轭对称性
因为上课强调过,并且给了作业,就在这里详述一下

如果有
$x[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(e^{j\Omega})$ x[n]⟷FX(ejΩ)
则序列的共轭有:
$x^{\ast}[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X^{\ast}(e^{-j\Omega})$ x∗[n]⟷FX∗(e−jΩ)
在这个情况下,如果x[n]是一个实序列,则虚部不存在,则有:
$X(e^{j\Omega}) = X^{\ast}(e^{-j\Omega})$ X(ejΩ)=X∗(e−jΩ)
所以很容易就可以得到,他的DTFT的实部是偶函数,而他的虚部是奇函数.
同理易得,他的模是偶函数,他的相角是奇函数

差分与累加
$x[n] -x[n-1] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} (1 - e^{-j\Omega})X(e^{j\Omega})$ x[n]−x[n−1]⟷F(1−e−jΩ)X(ejΩ)
实际上,考虑信号: $y[n] = \sum^n_{m=-\infty}x[m]$ y[n]=∑m=−∞nx[m]
他的傅里叶变换,可以用上面的式子得出:
$y[n] = \sum^n_{m=-\infty}x[m] = \frac1{1 - e^{-j\Omega}}X(e^{j\Omega}) + \pi X(e^{j0})\sum^{+\infty}_{-\infty}\delta(\Omega-2\pi k)$ y[n]=m=−∞∑nx[m]=1−e−jΩ1X(ejΩ)+πX(ej0)−∞∑+∞δ(Ω−2πk)
时间反转
$x[-n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(e^{-j\Omega})$ x[−n]⟷FX(e−jΩ)
时域扩展
$x_{(k)}[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(e^{jk\Omega})$ x(k)[n]⟷FX(ejkΩ)
频域微分
$nx[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} j\frac{X(e^{j\Omega})}{d\Omega}$ nx[n]⟷FjdΩX(ejΩ)
帕斯瓦尔定理
$\sum^{+\infty}_{n=-\infty} |x[n]|^2 = \frac1{2\pi}\int_{2\pi}|X(e^{j\Omega})|^2d\Omega$ n=−∞∑+∞∣x[n]∣2=2π1∫2π∣X(ejΩ)∣2dΩ
卷积性质相乘性质

对于$ y[n] = x[n]\ast h[n] = \sum^{+\infty}_{k=- \infty}x[k]h[n-k] $有:
$Y(e^{j\Omega}) = X(e^{j\Omega}) H(e^{j\Omega})$ Y(ejΩ)=X(ejΩ)H(ejΩ)

当考虑 $y[n] = x_1[n]x_2[n]$ y[n]=x1[n]x2[n]时,有:
$Y(e^{j\Omega}) = \frac1{2\pi}\int_{2\pi}X_1(e^{j\theta})X_2(e^{j(\Omega-\theta)})d\theta$ Y(ejΩ)=2π1∫2πX1(ejθ)X2(ej(Ω−θ))dθ

对偶性
当然这是一个很重要的性质,但是这里更多的是理解,看书吧

Z变换

定义

$X(z) \triangleq \sum^{+\infty}_{n=- \infty} x[n] z^{-n}$ X(z)≜n=−∞∑+∞x[n]z−n
$x[n] = \frac1{2\pi j} \oint X(z)z^{n-1} dz$ x[n]=2πj1∮X(z)zn−1dz

性质

线性性质
$ax_1[n] +bx_2[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} aX_1(z)+bX_2(z)$ ax1[n]+bx2[n]⟷ZaX1(z)+bX2(z)
时移性质
$x[n-n_0] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} z^{-n_0}X(z)$ x[n−n0]⟷Zz−n0X(z)
z域尺度变换
$z_0^n x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(\frac z{z_0})$ z0nx[n]⟷ZX(z0z)
时间反转
$x[-n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(\frac1z)$ x[−n]⟷ZX(z1)
时域扩展
$x_{(k)}[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(z^k)$ x(k)[n]⟷ZX(zk)
共轭
如果有
$x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(z)$ x[n]⟷ZX(z)
则序列的共轭有:
$x^{\ast}[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X^{\ast}(z^{\ast})$ x∗[n]⟷ZX∗(z∗)
卷积性质

$x_1[n]\ast x_2[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X_1(z)X_2(z)$ x1[n]∗x2[n]⟷ZX1(z)X2(z)
8. 频域微分
$nx[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} -z\frac{X(z)}{dz}$ nx[n]⟷Z−zdzX(z)
9. 初值定理
当n<0时,x[n]=0,则
$x[0] = \lim_{z\rightarrow \infty} X(z)$ x[0]=z→∞limX(z)
10. z变换本身的性质(时间问题,只做简述)
a.稳定性:极点在单位圆里面
b.因果性:系统函数的收敛域在某个圆的外边,且包括无限远点

系统

在上面的基础上,这里就只做简述吧

系统的特性

针对线性移不变系统,其中线性有:

其次性
叠加性
移不动指的是,输入移一位,输出也跟着移一位,不会有什么妖魔鬼怪
稳定性
$|h(t)|<\infty$ ∣h(t)∣<∞
因果性
$h(t)=0 ,t<0$ h(t)=0,t<0
相应用z变换判断的在上头

系统的表示

框图
差分方程
系统单位脉冲响应h[k]
系统频率响应 $H(j\omega)$ H(jω)
系统函数H(z)

相应的转换关系:

差分方程to系统函数:
已知差分方程:
$\sum^n_{i=0} a_iy[k-i] = \sum_{j=0}^m b_jf[k-j]$ i=0∑naiy[k−i]=j=0∑mbjf[k−j]
对其求z变换得:
$\sum^n_{i=0} a_iz^{-i}Y_f(z)= \sum_{j=0}^m b_j z^{-i} F[z]$ i=0∑naiz−iYf(z)=j=0∑mbjz−iF[z]
所以系统函数为:
$H(z) = \frac{Y_f(z)}{F(z)}= \frac{\sum_{j=0}^m b_j z^{-j}}{sum^n_{i=0} a_iz^{-i}}$ H(z)=F(z)Yf(z)=sumi=0naiz−i∑j=0mbjz−j
系统函数to系统单位脉冲响应h[k]
$H(z) = \frac{Y_f(z)}{F(z)} =\mathcal{Z}\{ h[k] \}$ H(z)=F(z)Yf(z)=Z{h[k]}
系统函数to系统频率响应
对因果系统,且系统稳定时:
$H(e^{j\Omega}) = H(z)|_{z=e^{j\Omega}} = |H(e^{j\Omega}) | e^{j\varphi (\Omega)}$ H(ejΩ)=H(z)∣z=ejΩ=∣H(ejΩ)∣ejφ(Ω)
系统函数to框图
1. 先将系统函数化成零极点形式
2. 按照零点系数和阶数画前馈通路
3. 按照极点系数和阶数画后馈通路

已知未完善地方

z变换本身的性质写得不多
没介绍模拟的奇异信号及其性质

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序列

序列的表示5e 4