实变函数是我本科阶段仅次于多元统计的又一大噩梦，学的时候就回避了很多重要的定理，考试也是背ppt水过的，现在看其实损失很大。之所以在回顾笔记中说这些，也是在提醒阅读本篇的读者，这不是一篇面向初学者的回顾，仅作为本人回顾时的随笔。

基本集合运算与表示

• 集合：在一定范围内个体事物的全体，当将他们看作一个整体时，称之为由一个个元素组成的集合。
  • 集合内的元素彼此互异而且明确。
  • 表示方法：
    • 列举法：\(A=\{a,b,c,\dots\}\);
    • 条件法：\(A=\{x:x\ satisfied\ p\}\);

用集合语言来描述性质是十遍函数中的常用方法：

1. \(f((x_0-\delta,x_0+\delta))\sub(f(x_0)-\varepsilon,f(x_0)+\varepsilon)\),函数收敛于\(x_0\)点；
2. \([a,b]\sub\{x:f(x)\leq M\}\)，函数有界。

• 设有一簇集合\(\{A_\alpha:\alpha\in\Lambda\}\),其中\(\alpha\)是固定指标集\(\Lambda\)中变化的指标，则有：
  • \(\bigcup_{\alpha\in\Lambda}A_{\alpha}=\{x:\exist\alpha\in\Lambda\to x\in A_\alpha\}\)
  • \(\bigcap_{\alpha\in\Lambda}A_{\alpha}=\{x:\forall\alpha\in\Lambda\to x\in A_\alpha\}\)

注意到与“存在”相对应的是并集运算，与“任意”对应的是交集运算

• (De Morgan公式) 若\(\{A_\alpha:\alpha\in\Lambda\}\)是一簇集合，则：
  • \((\bigcup_{\alpha\in\Lambda}A_\alpha)^c=\bigcap_{\alpha\in\Lambda}A_\alpha^c\)
  • \((\bigcap_{\alpha\in\Lambda}A_\alpha)^c=\bigcup_{\alpha\in\Lambda}A_\alpha^c\);

证明：

我们设\(x\in(\bigcup_{\alpha\in\Lambda}A_\alpha)^c\),则\(x\notin\bigcup_{\alpha\in\Lambda}A_\alpha\),则对任意的\(\alpha\in\Lambda,(x\notin A_\alpha)=x\in A_\alpha^c\)；反之若设\(x\in\bigcap_{\alpha\in\Lambda}A_\alpha^c\),则对任意\(\alpha\in\Lambda,x\in A_\alpha^c\),即\(x\notin A_\alpha\),也就是说\(x\notin\bigcup_{\alpha\in\Lambda}A_\alpha\),从而\(x\in(\bigcup_{\alpha\in\Lambda}A_\alpha)^c\),综上：\((\bigcup_{\alpha\in\Lambda}A_\alpha)^c=\bigcap_{\alpha\in\Lambda}A_\alpha^c\)。

证毕。

• 一些多重交并表示法示例：
  • \(\{x:\{f_n(x)\}有界\}=\bigcup_{M\in\R^+}\bigcap_{n=1}^\infty\{x:|f_n(x)|\leq M\}\)
  • \(\{x:\{f_n(x)\}*\}=\bigcap_{M\in\R^+}\bigcup_{n=1}^\infty\{x:|f_n(x)|>M\}\)
  • \(\{x:\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0\}=\bigcap_{\varepsilon\in\R^+}\bigcup_{N=1}^\infty\bigcap_{n=N}^\infty\{x:|f_n(x)|\leq\varepsilon\}\);

集合列的上极限与下极限

设\(A_1,A_2,\dots,A_n,\dots\)是任意一列集，

• 由属于上述集列中无限多个集合的那种元素的全体所组成的集合称为这一集列的上极限或上限集，记作:
  \[ \overline{\lim_{n\to\infty}}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{m=n}^\infty A_n \]

存在无穷多个\(A_n\)使得\(x\in A_n\)；

• 出有限个下标外，属于激烈中每个集合的元素全体所组成的集合称为这一集列的下限集或下极限，记作：

\[ {\underline{\lim}_{n\to\infty}}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{m=n}^\infty A_n \]

当\(n\)充分大了之后都有\(x\in A_n\)。

单调系列

如果对于集列\(\{A_n\}\)满足\(A_n\sub A_{n+1}，n=1,2,\dots\)则称\(\{A_n\}\)为增加集列，若单调增加集列是收敛的，则有：
\[ \lim_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty A_n \]

二、对等与基数

• 对两个非空集合，若存在从\(A\)到\(B\)的一一映射，则称\(A\)与\(B\)对等，记为：\(A\sim B\),规定\(\O\sim\O\).
  • 对任意集合\(A,B,C\)均有：
    • （反射性）：\(A\sim A\);
    • （对称性）：\(A\sim B\)，则\(B\sim A\);
    • （传递性）：\(A\sim B,B\sim C\)则\(A\sim C\).
• 若A和B对等，则称他们有相同的基数，记为：\(\bar{\bar{A}}=\bar{\bar{B}}\);
• 若A不与B对等，但存在B的真子集\(B^*\)使得\(A\sim B^*\)，则有：\(\bar{\bar{A}}<\bar{\bar{B}}\).
• (Bernstein 定理)：设\(\bar{\bar{A}}\leq\bar{\bar{B}}\)，\(\bar{\bar{A}}\geq\bar{\bar{B}}\),则\(\bar{\bar{A}}=\bar{\bar{B}}\)。

伯恩斯坦定理是判定两个集合对等的有力工具：设\(A\supset B\supset C\),且\(A\sim C\),则：\(A\sim B\sim C\).

三、可数集合

• 凡是和\(\Z^+\)对等的集合都是可数集合或可列集合，任何无限集合都至少包含一个可数集合。

可数集在所有无限集中有最小的基数。

• 可数集合的任何无限子集必为可数集合，从而可数集合的任何无限子集或是有限集或是可数集；
• 若A为可数集，B为可数集或有限集，则\(A\bigcup B\)为可数集；