原命题
我们从下面的题目直接看一般情况:
eg: 判定级数 \(a_n = \displaystyle\frac{1}{n^p}(n \geq 1, p > 0)\) 的敛散性.
解:\(f(x) = x^{-p}\) 在 \([1, +\infty)\) 上单调减;积分 \(\int_1^{+\infty} x^{-p}dx\) 在 \(p > 1\) 时收敛,在 \(p \leq 1\) 时发散. 由定理4(积分判别法),级数 \(\sum{n^{-p}}\) 在 \(p > 1\) 时收敛,在 \(p \leq 1\) 时发散。
扩展
eg: 判断 \(a_n = \displaystyle\frac{1}{n}\) 的敛散性.
解:直接可以看出 \(\displaystyle\frac{1}{n}\) 单调减且收敛于零,故由定理 6(莱布尼茨判别法) 知级数 \(\sum{(-1)^{n - 1}a_n}\) 收敛.
附
1、定理4(积分判别法) 设 \(f(x)\) 在区间 \([1, +\infty)\) 上非负且单调减,\(a_n = f(n)\ (n = 1,2,...)\),则级数 \(\sum{a_n}\) 收敛当且仅反常积分 \(\int_1^{+\infty}f(x)dx\) 收敛.
证明:
2、反常积分的定义:
3、定理 6:Leibniz 判别法
参考:华科微积分教材