[概统]本科二年级 概率论与数理统计 第四讲 连续型随机变量
连续型随机变量的基本概念
定义4.1 在 R \mathbb{R} R上定义概率 P P P， P : A → [ 0 , 1 ] P:\mathcal{A} \to [0,1] P:A→[0,1]，
- P ( ϕ ) = 0 P(\phi)=0 P(ϕ)=0，即不可能事件概率为0
- P ( Ω ) = 1 P(\Omega)=1 P(Ω)=1，即必然事件概率为1
- 对一列互斥的事件 { A n } n ≥ 1 ⊂ P \{A_n\}_{n \ge 1} \subset \mathcal{P} {An}n≥1⊂P, P ( ⋃ n ≥ 1 A n ) = ∑ n ≥ 1 P ( A n ) P(\bigcup_{n \ge 1}A_n) = \sum_{n \ge 1}P(A_n) P(n≥1⋃An)=n≥1∑P(An)即互斥事件和的概率等于互斥事件概率之和
其中 A \mathcal{A} A是 R \mathbb{R} R的某些子集组成的集合，按几何概型的启发，我们假设 A \mathcal{A} A中的元素都可以用某些区间的交或者并表示。这样我们就得到了概率空间 ( R , A , P ) (\mathbb{R},\mathcal{A},P) (R,A,P)，称这样的概率空间为连续型概率空间。定义 X : ( R , A , P ) → R X:(\mathbb{R},\mathcal{A},P) \to \mathbb{R} X:(R,A,P)→R，则 X X X为连续型随机变量。
例4.1 我们可以把事件用随机变量表示，考虑事件
A
∈
A
A \in \mathcal{A}
A∈A，定义
1
A
(
x
)
=
{
1
,
x
∈
A
0
,
x
∉
A
1_A(x) = \begin{cases} 1 , x \in A \\ 0, x \notin A \end{cases}
1A(x)={1,x∈A0,x∈/A
显然 1 A 1_A 1A是一个连续型随机变量，我们称这样的随机变量为事件的指示变量(indicator function)。
定义4.2 分布、累积分布函数、生存函数
称映射
μ
:
A
→
[
0
,
1
]
\mu:\mathcal{A} \to [0,1]
μ:A→[0,1]是
X
X
X的分布，如果
∀
A
∈
A
\forall A \in \mathcal{A}
∀A∈A
μ
(
A
)
=
P
(
{
w
∈
Ω
:
X
(
w
)
∈
A
}
)
=
P
(
X
∈
A
)
\mu(A) = P(\{w \in \Omega:X(w) \in A\})=P(X \in A)
μ(A)=P({w∈Ω:X(w)∈A})=P(X∈A)
如果取
A
=
(
−
∞
,
x
]
A = (-\infty,x]
A=(−∞,x]，则记
F
X
(
x
)
=
μ
(
(
−
∞
,
x
]
)
=
P
(
X
≤
x
)
F_X(x) = \mu((-\infty,x]) = P(X \le x)
FX(x)=μ((−∞,x])=P(X≤x)
称 F X F_X FX为 X X X的累积分布函数(cumulative distribution function, cdf)；如果取 A = ( x , ∞ ) A = (x,\infty) A=(x,∞)，则记 S X ( x ) = μ ( ( x , ∞ ) ) = P ( X > x ) S_X(x) = \mu((x,\infty))=P(X>x) SX(x)=μ((x,∞))=P(X>x)
称
S
X
S_X
SX为
X
X
X的生存函数，显然
F
X
(
x
)
+
S
X
(
x
)
=
1
,
∀
x
∈
R
F_X(x)+S_X(x)=1,\forall x \in \mathbb{R}
FX(x)+SX(x)=1,∀x∈R
定理4.1 累积分布函数的性质
- 右连续
- F ( − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ ) = 1 F(-\infty)=0,F(+\infty)=1 F(−∞)=0,F(+∞)=1
- 非减
证明
第一条，右连续，即
lim
x
→
a
+
F
X
(
x
)
=
F
(
a
)
,
∀
x
∈
R
\lim_{x \to a^+}F_X(x)=F(a),\forall x \in \mathbb{R}
limx→a+FX(x)=F(a),∀x∈R，要证明这个结论，我们考虑任意一个单调递增且收敛到
a
a
a的序列
{
x
n
}
\{x_n\}
{xn}，则
{
X
≤
x
1
}
⊃
{
X
≤
x
2
}
⋯
⊃
{
X
≤
x
n
}
⊃
⋯
\{X \le x_1\} \supset \{X \le x_2\} \cdots \supset \{X \le x_n\} \supset \cdots
{X≤x1}⊃{X≤x2}⋯⊃{X≤xn}⊃⋯
所以
⋂
n
=
1
∞
{
X
≤
x
n
}
=
{
X
≤
lim
n
→
∞
x
n
}
=
{
X
≤
a
}
\bigcap_{n=1}^{\infty}\{X \le x_n\} = \{X \le \lim_{n \to \infty}x_n\}=\{X \le a\}
n=1⋂∞{X≤xn}={X≤n→∞limxn}={X≤a}
根据概率的下连续性（见下面的评注），
lim
n
→
∞
P
(
X
n
≤
x
n
)
=
P
(
⋂
n
=
1
∞
{
X
≤
x
n
}
)
=
P
(
X
≤
a
)
=
F
X
(
a
)
\lim_{n \to \infty}P(X_n \le x_n)=P(\bigcap_{n=1}^{\infty}\{X \le x_n\})=P(X \le a)=F_X(a)
n→∞limP(Xn≤xn)=P(n=1⋂∞{X≤xn})=P(X≤a)=FX(a)
这就说明了累积分布函数的右连续性。
第二条，
F
(
−
∞
)
=
lim
x
→
−
∞
F
(
x
)
=
0
F(-\infty)=\lim_{x \to -\infty}F(x)=0
F(−∞)=limx→−∞F(x)=0，要证明这个极限，我们选择任意一个递减且发散到
−
∞
-\infty
−∞的序列
{
x
n
}
\{x_n\}
{xn}，则
{
X
≤
x
1
}
⊃
{
X
≤
x
2
}
⋯
⊃
{
X
≤
x
n
}
⊃
⋯
\{X \le x_1\} \supset \{X \le x_2\} \cdots \supset \{X \le x_n\} \supset \cdots
{X≤x1}⊃{X≤x2}⋯⊃{X≤xn}⊃⋯
并且
⋂
n
=
1
∞
{
X
≤
x
n
}
=
{
X
≤
lim
n
→
∞
x
n
}
=
ϕ
\bigcap_{n=1}^{\infty}\{X \le x_n\} = \{X \le \lim_{n \to \infty}x_n\}=\phi
n=1⋂∞{X≤xn}={X≤n→∞limxn}=ϕ
根据第一条性质，
F
(
−
∞
)
=
P
(
⋂
n
=
1
∞
{
X
≤
x
n
}
)
=
P
(
ϕ
)
=
0
F(-\infty)=P(\bigcap_{n=1}^{\infty}\{X \le x_n\})=P(\phi)=0
F(−∞)=P(n=1⋂∞{X≤xn})=P(ϕ)=0
类似地，
F
(
+
∞
)
=
lim
x
→
+
∞
F
X
(
x
)
=
1
F(+\infty) = \lim_{x \to + \infty}F_X(x)=1
F(+∞)=limx→+∞FX(x)=1，我们选择一个递增且分散到
+
∞
+\infty
+∞的序列
{
x
n
}
\{x_n\}
{xn}，则
{
X
≤
x
1
}
⊂
{
X
≤
x
2
}
⋯
⊂
{
X
≤
x
n
}
⊂
⋯
\{X \le x_1\} \subset \{X \le x_2\} \cdots \subset \{X \le x_n\} \subset \cdots
{X≤x1}⊂{X≤x2}⋯⊂{X≤xn}⊂⋯
并且
⋃
n
=
1
∞
{
X
≤
x
n
}
=
{
X
≤
lim
n
→
∞
x
n
}
=
Ω
\bigcup_{n=1}^{\infty}\{X \le x_n\} = \{X \le \lim_{n \to \infty}x_n\}=\Omega
n=1⋃∞{X≤xn}={X≤n→∞limxn}=Ω
根据概率的上连续性（见下面的评注），
F
(
+
∞
)
=
P
(
⋃
n
=
1
∞
{
X
≤
x
n
}
)
=
P
(
Ω
)
=
1
F(+\infty) = P(\bigcup_{n=1}^{\infty}\{X \le x_n\} )=P(\Omega)=1
F(+∞)=P(n=1⋃∞{X≤xn})=P(Ω)=1
第三条，考虑 x ≤ y x\le y x≤y， { X ≤ x } ⊂ { X ≤ y } \{X \le x\} \subset \{X \le y\} {X≤x}⊂{X≤y}，所以 P ( X ≤ x ) ≤ P ( X ≤ y ) P(X \le x) \le P(X \le y) P(X≤x)≤P(X≤y)，于是 F X ( x ) ≤ F Y ( y ) F_X(x) \le F_Y(y) FX(x)≤FY(y)。
评注
关于概率有两个很重要的性质：
上连续 考虑
A
n
∈
A
,
n
=
1
,
2
,
⋯
A_n \in \mathcal{A},n=1,2,\cdots
An∈A,n=1,2,⋯，
A
n
⊂
A
n
+
1
A_n \subset A_{n+1}
An⊂An+1，如果
P
(
⋃
n
=
1
∞
A
n
)
=
lim
n
P
(
A
n
)
P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=\lim_n P(A_n)
P(⋃n=1∞An)=limnP(An)，称
P
P
P是上连续的。这个定义中需要注意的是，因为
A
n
⊂
A
n
+
1
A_n \subset A_{n+1}
An⊂An+1，所以
⋃
n
=
1
∞
A
n
=
lim
n
A
n
\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=\lim_n A_n
⋃n=1∞An=limnAn。
下连续 ∀ A n ∈ A , n = 1 , 2 , ⋯ \forall A_n \in \mathcal{A},n=1,2,\cdots ∀An∈A,n=1,2,⋯， A n ⊃ A n + 1 A_n \supset A_{n+1} An⊃An+1，如果 P ( ⋂ n = 1 ∞ A n ) = lim n P ( A n ) P(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n)=\lim_n P(A_n) P(⋂n=1∞An)=limnP(An)，称 P P P是下连续的。
概率推上连续，记
A
0
=
ϕ
A_0=\phi
A0=ϕ，直接计算
P
(
⋃
n
=
1
∞
A
n
)
=
P
(
⨆
n
=
1
∞
(
A
n
∖
A
n
−
1
)
)
=
∑
n
=
1
∞
P
(
A
n
∖
A
n
−
1
)
=
∑
n
=
1
∞
[
P
(
A
n
)
−
P
(
A
n
−
1
)
]
=
P
(
A
∞
)
−
P
(
A
0
)
=
lim
n
→
∞
P
(
A
n
)
P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=P(\bigsqcup_{n=1}^{\infty} (A_n\setminus A_{n-1}) ) = \sum_{n=1}^{\infty} P(A_n\setminus A_{n-1})\\ =\sum_{n=1}^{\infty} [P(A_n)-P(A_{n-1})] =P( A_{\infty})-P(A_0) = \lim_{n\to \infty} P(A_n)
P(n=1⋃∞An)=P(n=1⨆∞(An∖An−1))=n=1∑∞P(An∖An−1)=n=1∑∞[P(An)−P(An−1)]=P(A∞)−P(A0)=n→∞limP(An)
概率推下连续，因为
A
n
↓
A_n \downarrow
An↓，所以
A
1
∖
A
n
↑
A_1\setminus A_n \uparrow
A1∖An↑，同时
⋃
n
=
1
∞
A
1
∖
A
n
=
⋃
n
=
1
∞
A
1
∩
A
n
C
=
A
1
∩
⋃
n
=
1
∞
A
n
C
=
A
1
∩
(
⋂
n
=
1
∞
A
n
)
C
=
A
1
∖
⋂
n
=
1
∞
A
n
\bigcup_{n=1}^{\infty} A_1\setminus A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_1\cap A_n^C = A_1 \cap \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^C = A_1 \cap \left( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \right)^C = A_1 \setminus \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n
n=1⋃∞A1∖An=n=1⋃∞A1∩AnC=A1∩n=1⋃∞AnC=A1∩(n=1⋂∞An)C=A1∖n=1⋂∞An
根据2，
lim
n
→
∞
P
(
A
1
∖
A
n
)
=
P
(
⋃
n
=
1
∞
(
A
1
∖
A
n
)
)
\lim_{n\to \infty} P(A_1 \setminus A_n) = P(\bigcup_{n=1}^{\infty} (A_1\setminus A_n))
n→∞limP(A1∖An)=P(n=1⋃∞(A1∖An))
基于
A
n
=
A
1
∖
(
A
1
∖
A
n
)
A_n=A_1 \setminus (A_1\setminus A_n)
An=A1∖(A1∖An)，
P
(
A
n
)
=
P
(
A
1
)
−
P
(
A
1
∖
A
n
)
lim
n
→
∞
P
(
A
n
)
=
P
(
A
1
)
−
lim
n
→
∞
P
(
A
1
∖
A
n
)
=
P
(
A
1
)
−
P
(
⋃
n
=
1
∞
(
A
1
∖
A
n
)
)
=
P
(
A
1
)
−
P
(
A
1
∖
⋂
n
=
1
∞
A
n
)
=
P
(
⋂
n
=
1
∞
A
n
)
P(A_n)=P(A_1)-P(A_1 \setminus A_n) \\ \lim_{n \to \infty}P(A_n)=P(A_1)-\lim_{n\to \infty} P(A_1 \setminus A_n) = P(A_1) - P(\bigcup_{n=1}^{\infty} (A_1\setminus A_n)) \\ = P(A_1) - P(A_1 \setminus \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n ) = P(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n)
P(An)=P(A1)−P(A1∖An)n→∞limP(An)=P(A1)−n→∞limP(A1∖An)=P(A1)−P(n=1⋃∞(A1∖An))=P(A1)−P(A1∖n=1⋂∞An)=P(n=1⋂∞An)
例4.2 离散型随机变量的累积分布函数
考虑几何分布，分布列为
P
(
X
=
k
)
=
p
(
1
−
p
)
k
,
k
=
0
,
1
,
⋯
P(X=k) = p(1-p)^k, k =0,1,\cdots
P(X=k)=p(1−p)k,k=0,1,⋯
我们来按定义推导一下它的累积分布函数，考虑
F
X
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
,
∀
x
∈
R
F_X(x)=P(X \le x),\forall x \in \mathbb{R}
FX(x)=P(X≤x),∀x∈R，如果
x
∈
[
n
,
n
+
1
)
x \in[n,n+1)
x∈[n,n+1)，则
F
X
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
=
∑
k
=
0
n
P
(
X
=
k
)
=
∑
k
=
0
n
p
(
1
−
p
)
k
=
p
[
1
−
(
1
−
p
)
n
]
1
−
(
1
−
p
)
=
1
−
(
1
−
p
)
n
F_X(x)=P(X \le x) = \sum_{k=0}^n P(X=k) \\ = \sum_{k=0}^n p(1-p)^k=\frac{p[1-(1-p)^n]}{1-(1-p)}=1-(1-p)^n
FX(x)=P(X≤x)=k=0∑nP(X=k)=k=0∑np(1−p)k=1−(1−p)p[1−(1−p)n]=1−(1−p)n
定义4.3 概率密度函数
如果
F
X
F_X
FX是可微的，即
∀
x
∈
R
\forall x \in \mathbb{R}
∀x∈R，
∃
h
>
0
,
ξ
>
0
\exists h>0,\xi>0
∃h>0,ξ>0
F
X
(
x
+
h
)
=
F
X
(
x
)
+
ξ
h
+
o
(
h
)
F_X(x+h)=F_X(x)+\xi h +o(h)
FX(x+h)=FX(x)+ξh+o(h)
这里的
ξ
\xi
ξ是
F
X
F_X
FX在
x
x
x处的导数，记为
f
X
(
x
)
f_X(x)
fX(x)，
f
X
(
x
)
=
lim
h
→
0
F
X
(
x
+
h
)
−
F
X
(
x
)
h
f_X(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F_X(x+h)-F_X(x)}{h}
fX(x)=h→0limhFX(x+h)−FX(x)
称 f X f_X fX是 X X X的概率密度函数(probability density function, pdf)。
定理4.2 概率密度函数的性质
- pdf的归一性
- 概率密度函数的非负性
- P ( a < X ≤ b ) = ∫ a b f X ( x ) d x P(a<X \le b)=\int_a^b f_X(x)dx P(a<X≤b)=∫abfX(x)dx
证明
第一条，
∫
−
∞
+
∞
f
X
(
x
)
d
x
=
F
X
(
+
∞
)
−
F
X
(
−
∞
)
=
1
\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)dx=F_X(+\infty)-F_X(-\infty)=1
∫−∞+∞fX(x)dx=FX(+∞)−FX(−∞)=1
第二条，因为
F
X
F_X
FX非减，
F
X
(
x
+
h
)
≥
F
X
(
x
)
F_X(x+h) \ge F_X(x)
FX(x+h)≥FX(x)，根据极限的保号性
f
X
(
x
)
=
lim
h
→
0
F
X
(
x
+
h
)
−
F
X
(
x
)
h
≥
0
f_X(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F_X(x+h)-F_X(x)}{h} \ge 0
fX(x)=h→0limhFX(x+h)−FX(x)≥0
第三条，
P
(
a
<
X
≤
b
)
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
∫
−
∞
b
f
X
(
x
)
d
x
−
∫
−
∞
a
f
X
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
f
X
(
x
)
d
x
P(a<X \le b) = F(b)-F(a) \\ = \int_{-\infty}^bf_X(x)dx- \int_{-\infty}^af_X(x)dx=\int_a^b f_X(x)dx
P(a<X≤b)=F(b)−F(a)=∫−∞bfX(x)dx−∫−∞afX(x)dx=∫abfX(x)dx
定义4.4 期望与方差
假设
X
X
X是某个连续型随机变量，
F
X
F_X
FX是cdf，
f
X
f_X
fX是pdf，定义期望为
E
X
=
∫
−
∞
∞
x
f
(
x
)
d
x
EX = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx
EX=∫−∞∞xf(x)dx
定义方差为
V
a
r
(
X
)
=
∫
−
∞
∞
(
x
−
E
X
)
2
f
X
(
x
)
d
x
=
E
X
2
−
(
E
X
)
2
Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty}(x-EX)^2f_X(x)dx = EX^2-(EX)^2
Var(X)=∫−∞∞(x−EX)2fX(x)dx=EX2−(EX)2
定理4.3 生存函数计算期望
E
X
=
∫
−
∞
∞
x
f
X
(
x
)
d
x
=
∫
−
∞
∞
S
X
(
x
)
d
x
EX = \int_{-\infty}^{\infty} xf_X(x)dx = \int_{-\infty}^{\infty}S_X(x)dx
EX=∫−∞∞xfX(x)dx=∫−∞∞SX(x)dx
证明
我们用Fubini来证明这个等式，
∫
−
∞
∞
x
f
X
(
x
)
d
x
=
∫
−
∞
∞
(
∫
0
x
d
t
)
f
X
(
x
)
d
x
=
∫
−
∞
∞
∫
0
x
f
X
(
x
)
d
t
d
x
=
∫
−
∞
∞
∫
t
∞
f
X
(
x
)
d
x
d
t
\int_{-\infty}^{\infty} xf_X(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty} \left( \int _0^x dt \right)f_X(x)dx \\ = \int_{-\infty}^{\infty} \int_0^x f_X(x)dtdx = \int_{-\infty}^{\infty}\int_t^{\infty} f_X(x)dxdt
∫−∞∞xfX(x)dx=∫−∞∞(∫0xdt)fX(x)dx=∫−∞∞∫0xfX(x)dtdx=∫−∞∞∫t∞fX(x)dxdt
最后一个等号用的是Fubini定理，因为积分区域是
t
<
x
t<x
t<x，于是变换积分次序后内层积分区域为
x
>
t
x >t
x>t，内层积分为
∫
t
∞
f
X
(
x
)
d
x
=
1
−
F
X
(
t
)
=
S
X
(
t
)
\int_t^{\infty} f_X(x)dx=1-F_X(t)=S_X(t)
∫t∞fX(x)dx=1−FX(t)=SX(t)
所以
∫
−
∞
∞
∫
t
∞
f
X
(
x
)
d
x
d
t
=
∫
−
∞
∞
S
X
(
t
)
d
t
\int_{-\infty}^{\infty}\int_t^{\infty} f_X(x)dxdt=\int_{-\infty}^{\infty}S_X(t)dt
∫−∞∞∫t∞fX(x)dxdt=∫−∞∞SX(t)dt
均匀分布
一元连续均匀分布
U
[
a
,
b
]
U[a,b]
U[a,b]的密度为
f
X
(
x
)
=
1
[
a
,
b
]
(
x
)
b
−
a
=
{
1
b
−
a
,
x
∈
[
a
,
b
]
0
,
o
t
h
e
r
w
i
s
e
f_X(x) = \frac{1_{[a,b]}(x)}{b-a} = \begin{cases} \frac{1}{b-a},x \in [a,b] \\ 0, otherwise \end{cases}
fX(x)=b−a1[a,b](x)={b−a1,x∈[a,b]0,otherwise
它的累积分布函数为
F
X
(
x
)
=
{
0
,
x
∈
(
−
∞
,
a
]
x
−
a
b
−
a
,
x
∈
(
a
,
b
]
1
,
x
∈
(
b
,
∞
)
F_X(x)=\begin{cases} 0,x \in (-\infty,a] \\ \frac{x-a}{b-a},x \in (a,b] \\ 1, x \in (b,\infty) \end{cases}
FX(x)=⎩⎪⎨⎪⎧0,x∈(−∞,a]b−ax−a,x∈(a,b]1,x∈(b,∞)
定理4.4
E
X
=
a
+
b
2
,
V
a
r
(
X
)
=
(
b
−
a
)
2
12
EX=\frac{a+b}{2},Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}
EX=2a+b,Var(X)=12(b−a)2
这两个结论留给读者证明。
指数分布
指数分布
E
X
P
(
λ
)
EXP(\lambda)
EXP(λ)的密度函数为
f
X
(
x
)
=
λ
1
x
≥
0
(
x
)
e
−
λ
x
=
{
λ
e
−
λ
x
,
x
≥
0
0
,
o
t
h
e
r
w
i
s
e
f_X(x)=\lambda 1_{x \ge 0}(x)e^{-\lambda x}= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},x \ge 0 \\ 0,otherwise\end{cases}
fX(x)=λ1x≥0(x)e−λx={λe−λx,x≥00,otherwise
累积分布函数为
F
X
(
x
)
=
{
0
,
x
∈
(
−
∞
,
0
]
1
−
e
−
λ
x
,
x
∈
(
0
,
∞
)
F_X(x)=\begin{cases} 0, x \in (-\infty,0] \\ 1-e^{-\lambda x},x \in (0,\infty)\end{cases}
FX(x)={0,x∈(−∞,0]1−e−λx,x∈(0,∞)
定理4.5
E
X
=
1
λ
,
V
a
r
(
X
)
=
1
λ
2
EX = \frac{1}{\lambda},Var(X)=\frac{1}{\lambda^2}
EX=λ1,Var(X)=λ21
这个定理也留给读者自行证明。
评注 关于指数分布有另一种定义，
E
X
P
(
1
/
λ
)
EXP(1/\lambda)
EXP(1/λ)，它的密度函数为
f
X
(
x
)
=
1
x
≥
0
(
x
)
e
−
x
λ
λ
f_X(x)=\frac{1_{x \ge 0}(x)e^{-\frac{x}{\lambda}}}{\lambda}
fX(x)=λ1x≥0(x)e−λx
期望与方差分别为 λ , λ 2 \lambda,\lambda^2 λ,λ2。
正态分布
正态分布是我们要讨论的重点，它是应用最广泛的一种连续型分布。
推导正态分布的密度(de Moivre-Laplace定理)
考虑二项分布的一些近似计算问题，考虑
X
∼
B
i
n
o
m
(
n
,
p
)
X \sim Binom(n,p)
X∼Binom(n,p)，
P
(
X
=
k
)
=
C
n
k
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
,
k
=
0
,
1
,
⋯
,
n
P(X = k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,\cdots,n
P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,⋯,n最主要的计算问题是在计算组合数的时候
C
n
k
=
n
!
(
n
−
k
)
!
k
!
C_n^k = \frac{n!}{(n-k)!k!}
Cnk=(n−k)!k!n!一般会根据这个公式按阶乘来计算，但阶乘的增长是很快的，数字比较大的时候通过阶乘计算组合数精度不理想。如果
n
,
k
,
n
−
k
n,k,n-k
n,k,n−k都比较大，就可以用Stirling公式（数学分析数列极限部分学过）近似计算阶乘：
n
!
≈
2
π
n
n
+
1
/
2
e
−
n
C
n
k
≈
2
π
n
n
+
1
/
2
e
−
n
(
2
π
(
n
−
k
)
n
−
k
+
1
/
2
e
−
n
+
k
)
(
2
π
k
k
+
1
/
2
e
−
k
)
=
1
2
π
n
(
n
n
−
k
)
n
−
k
+
1
/
2
(
n
k
)
k
+
1
/
2
n! \approx \sqrt{2\pi}n^{n+1/2}e^{-n}\\ C_n^k\approx \frac{\sqrt{2\pi}n^{n+1/2}e^{-n}}{(\sqrt{2\pi}(n-k)^{n-k+1/2}e^{-n+k})(\sqrt{2\pi}k^{k+1/2}e^{-k})} \\= \frac{1}{\sqrt{2\pi n}} \left( \frac{n}{n-k} \right)^{n-k+1/2} \left( \frac{n}{k} \right)^{k+1/2}
n!≈2π
nn+1/2e−nCnk≈(2π
(n−k)n−k+1/2e−n+k)(2π
kk+1/2e−k)2π
nn+1/2e−n=2πn
1(n−kn)n−k+1/2(kn)k+1/2将这个组合数的近似公式带入二项分布的概率中
P
(
X
=
k
)
=
1
2
π
n
p
(
1
−
p
)
(
n
(
1
−
p
)
n
−
k
)
n
−
k
+
1
/
2
(
n
p
k
)
k
+
1
/
2
P(X=k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi np(1-p)}} \left( \frac{n(1-p)}{n-k} \right)^{n-k+1/2} \left( \frac{np}{k} \right)^{k+1/2}
P(X=k)=2πnp(1−p)
1(n−kn(1−p))n−k+1/2(knp)k+1/2这个形式的好处是避开了大整数的阶乘运算。接下来我们进一步做点推导，看看有没有更简单的形式。考虑
ln
(
n
p
k
)
k
+
1
/
2
=
−
(
k
+
1
/
2
)
ln
k
n
p
\ln \left( \frac{np}{k}\right)^{k+1/2} = -(k+1/2)\ln \frac{k}{np}
ln(knp)k+1/2=−(k+1/2)lnnpk记
x
k
=
k
−
n
p
n
p
(
1
−
p
)
,
k
=
n
p
+
x
k
n
p
(
1
−
p
)
ln
(
n
p
k
)
k
+
1
/
2
=
−
(
n
p
+
x
k
n
p
(
1
−
p
)
+
1
/
2
)
ln
(
1
+
x
k
(
1
−
p
)
n
p
(
1
−
p
)
)
x_k = \frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}},\ k=np + x_k\sqrt{np(1-p)} \\ \ln \left( \frac{np}{k}\right)^{k+1/2}=-(np + x_k\sqrt{np(1-p)}+1/2)\ln \left( 1+\frac{x_k(1-p)}{\sqrt{np(1-p)}}\right)
xk=np(1−p)
k−np, k=np+xknp(1−p)
ln(knp)k+1/2=−(np+xknp(1−p)
+1/2)ln(1+np(1−p)
xk(1−p))取Taylor展开的前两项做近似
ln
(
1
+
x
k
(
1
−
p
)
n
p
(
1
−
p
)
)
≈
x
k
(
1
−
p
)
n
p
(
1
−
p
)
−
(
x
k
(
1
−
p
)
n
p
(
1
−
p
)
)
2
\ln \left( 1+\frac{x_k(1-p)}{\sqrt{np(1-p)}}\right) \approx \frac{x_k(1-p)}{\sqrt{np(1-p)}}-\left( \frac{x_k(1-p)}{\sqrt{np(1-p)}}\right)^2
ln(1+np(1−p)
xk(1−p))≈np(1−p)
xk(1−p)−(np(1−p)
xk(1−p))2回带化简得
ln
(
n
p
k
)
k
+
1
/
2
≈
−
x
k
n
p
(
1
−
p
)
−
1
2
(
1
−
p
)
x
k
2
(
n
p
k
)
k
+
1
/
2
=
exp
(
−
x
k
n
p
(
1
−
p
)
−
1
−
p
2
x
k
2
)
\ln \left( \frac{np}{k}\right)^{k+1/2} \approx -x_k\sqrt{np(1-p)}-\frac{1}{2}(1-p)x_k^2 \\ \left( \frac{np}{k}\right)^{k+1/2} = \exp \left( -x_k\sqrt{np(1-p)} -\frac{1-p}{2}x_k^2\right)
ln(knp)k+1/2≈−xknp(1−p)
−21(1−p)xk2(knp)k+1/2=exp(−xknp(1−p)
−21−pxk2)类似地
(
n
(
1
−
p
)
n
−
k
)
n
−
k
+
1
/
2
=
exp
(
x
k
n
p
(
1
−
p
)
−
p
2
x
k
2
)
\left( \frac{n(1-p)}{n-k}\right)^{n-k+1/2} = \exp \left( x_k\sqrt{np(1-p)} -\frac{p}{2}x_k^2\right)
(n−kn(1−p))n−k+1/2=exp(xknp(1−p)
−2pxk2)
因此
P
(
X
=
k
)
=
1
2
π
n
p
(
1
−
p
)
exp
(
−
x
k
2
2
)
=
ϕ
(
x
k
)
n
p
(
1
−
p
)
P(X=k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi np(1-p)}} \exp\left( -\frac{x_k^2}{2}\right)=\frac{\phi(x_k)}{\sqrt{np(1-p)}}
P(X=k)=2πnp(1−p)
1exp(−2xk2)=np(1−p)
ϕ(xk)称
ϕ
(
x
)
\phi(x)
ϕ(x)是标准正态分布的密度函数，这个结论叫做de Moivre-Laplace定理。
标准正态分布
现在我们有了标准正态分布的密度函数，
ϕ
(
x
)
=
1
2
π
e
−
x
2
2
\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}
ϕ(x)=2π
1e−2x2
现证明一下它满足归一性，计算积分
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
2
d
x
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx
∫−∞+∞e−2x2dx
这种形式的积分有点难积，但技巧非常固定，就是凑重积分再换到极坐标下计算，如果
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
2
d
x
<
∞
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx<\infty
∫−∞+∞e−2x2dx<∞，则这个积分的值与符号没关系，
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
2
d
x
=
∫
−
∞
+
∞
e
−
y
2
2
d
y
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{y^2}{2}}dy
∫−∞+∞e−2x2dx=∫−∞+∞e−2y2dy
于是
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
2
d
x
=
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
2
d
x
∫
−
∞
+
∞
e
−
y
2
2
d
y
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx = \sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{y^2}{2}}dy}
∫−∞+∞e−2x2dx=∫−∞+∞e−2x2dx∫−∞+∞e−2y2dy
根据Fubini定理，
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
2
d
x
∫
−
∞
+
∞
e
−
y
2
2
d
y
=
∫
−
∞
+
∞
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
+
y
2
2
d
x
d
y
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{y^2}{2}}dy = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy
∫−∞+∞e−2x2dx∫−∞+∞e−2y2dy=∫−∞+∞∫−∞+∞e−2x2+y2dxdy
现在我们把这个积分变换到极坐标下，
{
x
=
r
cos
θ
y
=
r
sin
θ
⇔
{
r
=
x
2
+
y
2
θ
=
arctan
y
x
,
θ
∈
[
0
,
2
π
]
,
r
∈
[
0
,
∞
)
\begin{cases} x = r\cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} r = \sqrt{x^2+y^2} \\ \theta = \arctan \frac{y}{x} \end{cases},\theta \in [0,2\pi],r \in [0,\infty)
{x=rcosθy=rsinθ⇔{r=x2+y2
θ=arctanxy,θ∈[0,2π],r∈[0,∞)
计算Jacobi行列式
∂
(
x
,
y
)
∂
(
r
,
θ
)
=
∣
cos
θ
−
r
sin
θ
sin
θ
r
cos
θ
∣
=
r
\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)} = \left| \begin{matrix} \cos \theta &-r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{matrix} \right|=r
∂(r,θ)∂(x,y)=∣∣∣∣cosθsinθ−rsinθrcosθ∣∣∣∣=r
根据积分换元公式，
∫
−
∞
+
∞
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
+
y
2
2
d
x
d
y
=
∫
0
∞
∫
0
2
π
r
e
−
r
2
2
d
r
d
θ
=
2
π
∫
0
∞
r
e
−
r
2
2
d
r
=
−
2
π
e
−
r
2
2
∣
0
∞
=
2
π
\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy=\int_{0}^{\infty}\int_0^{2\pi}re^{-\frac{r^2}{2}}drd\theta \\ = 2\pi \int_0^{\infty}re^{-\frac{r^2}{2}}dr=-2\pi e^{-\frac{r^2}{2}}|_0^{\infty}=2\pi
∫−∞+∞∫−∞+∞e−2x2+y2dxdy=∫0∞∫02πre−2r2drdθ=2π∫0∞re−2r2dr=−2πe−2r2∣0∞=2π
所以
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
2
d
x
=
2
π
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx = \sqrt{2\pi}
∫−∞+∞e−2x2dx=2π
因此归一性成立。然而遗憾的是，这个技巧仅仅对于积分区域为
R
2
\mathbb{R}^2
R2的情况才适用，所以当我们要计算标准正态分布的累积分布函数时，就没有办法用这个技巧了，也就是说我们没有办法写出标准正态分布的不含积分的解析式。定义
Φ
(
x
)
\Phi(x)
Φ(x)为标准正态分布的累积分布函数，则
Φ
(
x
)
=
∫
−
∞
x
ϕ
(
t
)
d
t
\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \phi(t)dt
Φ(x)=∫−∞xϕ(t)dt
定理4.6 记
X
X
X为标准正态变量，
E
X
=
0
,
V
a
r
(
X
)
=
1
EX=0,Var(X)=1
EX=0,Var(X)=1
证明
E
X
=
∫
−
∞
∞
x
2
π
e
−
x
2
2
d
x
EX = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx
EX=∫−∞∞2π
xe−2x2dx
其中
x
e
−
x
2
/
2
xe^{-x^2/2}
xe−x2/2是奇函数，积分区域关于原点对称，根据积分的性质，
∫
−
∞
∞
x
2
π
e
−
x
2
2
d
x
=
0
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=0
∫−∞∞2π
xe−2x2dx=0，于是
E
X
=
0
EX=0
EX=0。下面我们计算
E
X
2
EX^2
EX2，
E
X
2
=
∫
−
∞
∞
x
2
2
π
e
−
x
2
2
d
x
=
∫
−
∞
∞
x
2
π
e
−
x
2
2
d
x
2
2
=
−
∫
−
∞
∞
x
2
π
d
e
−
x
2
2
=
−
x
2
π
e
−
x
2
2
∣
−
∞
∞
+
∫
−
∞
∞
1
2
π
e
−
x
2
2
d
x
=
1
EX^2 = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx \\ = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}d\frac{x^2}{2} = -\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{\sqrt{2\pi}}de^{-\frac{x^2}{2}} \\ = -\frac{x}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}|_{-\infty}^{\infty}+\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx = 1
EX2=∫−∞∞2π
x2e−2x2dx=∫−∞∞2π
xe−2x2d2x2=−∫−∞∞2π
xde−2x2=−2π
xe−2x2∣−∞∞+∫−∞∞2π
1e−2x2dx=1
第一项是0，第二项就是归一性。因此
V
a
r
(
X
)
=
E
X
2
−
(
E
X
)
2
=
1
Var(X)=EX^2-(EX)^2=1
Var(X)=EX2−(EX)2=1
一般的正态分布
定义4.5 一般的正态分布
如果
Z
Z
Z服从标准正态分布，记为
Z
∼
N
(
0
,
1
)
Z \sim N(0,1)
Z∼N(0,1)，如果
μ
,
σ
∈
R
\mu,\sigma \in \mathbb{R}
μ,σ∈R，
X
=
μ
+
σ
Z
X = \mu+\sigma Z
X=μ+σZ，则
X
X
X服从一般的正态分布，记为
X
∼
N
(
μ
,
σ
2
)
X \sim N(\mu,\sigma^2)
X∼N(μ,σ2)，称
Z
Z
Z是
X
X
X的z-score。
定理4.7 一般正态分布的pdf
f
X
(
x
)
=
1
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
fX(x)=2π
σ1e−2σ2(x−μ)2
证明
因为我们还没有推导能处理随机变量的函数的方法，所以只能根据定义来计算。
F
X
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
=
P
(
μ
+
σ
Z
≤
x
)
=
P
(
Z
≤
x
−
μ
σ
)
=
∫
∞
x
−
μ
σ
1
2
π
e
−
t
2
2
d
t
F_X(x)=P(X \le x) = P(\mu+\sigma Z\le x) \\ = P(Z \le \frac{x-\mu}{\sigma}) = \int_{\infty}^{\frac{x-\mu}{\sigma}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt
FX(x)=P(X≤x)=P(μ+σZ≤x)=P(Z≤σx−μ)=∫∞σx−μ2π
1e−2t2dt
根据这个结果我们可以推导密度函数，需要的技术是对积分上限求导，
f
X
(
x
)
=
(
x
−
μ
σ
)
′
1
2
π
e
−
t
2
2
∣
t
=
x
−
μ
σ
=
1
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
f_X(x)=\left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)'\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}|_{t=\frac{x-\mu}{\sigma}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
fX(x)=(σx−μ)′2π
1e−2t2∣t=σx−μ=2π
σ1e−2σ2(x−μ)2
下下讲我们会推导计算随机变量的函数的分布的方法。
定理4.8
E
X
=
μ
,
V
a
r
(
X
)
=
σ
2
EX=\mu,Var(X)=\sigma^2
EX=μ,Var(X)=σ2
证明
也就是直接计算了，先计算期望，
E
X
=
∫
−
∞
∞
x
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
d
x
=
∫
−
∞
∞
(
x
−
μ
)
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
d
x
+
∫
−
∞
∞
μ
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
d
x
=
μ
EX = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx \\ = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{(x-\mu)}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx+\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mu}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx=\mu
EX=∫−∞∞2π
σxe−2σ2(x−μ)2dx=∫−∞∞2π
σ(x−μ)e−2σ2(x−μ)2dx+∫−∞∞2π
σμe−2σ2(x−μ)2dx=μ
第一项就是简单换元，然后就又是奇函数的积分，
∫
−
∞
∞
(
x
−
μ
)
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
d
x
=
y
=
x
−
μ
∫
−
∞
∞
y
2
π
σ
e
−
y
2
2
σ
2
d
y
=
0
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(x-\mu)}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx =_{y=x-\mu} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{y}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}}dy=0
∫−∞∞2π
σ(x−μ)e−2σ2(x−μ)2dx=y=x−μ∫−∞∞2π
σye−2σ2y2dy=0
第二项根据归一性，
∫
−
∞
∞
μ
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
d
x
=
μ
∫
−
∞
∞
1
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
d
x
=
μ
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mu}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx = \mu\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx = \mu
∫−∞∞2π
σμe−2σ2(x−μ)2dx=μ∫−∞∞2π
σ1e−2σ2(x−μ)2dx=μ
接下来计算
E
X
2
EX^2
EX2，
E
X
2
=
∫
−
∞
∞
x
2
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
d
x
=
∫
−
∞
∞
[
μ
+
(
x
−
μ
)
]
2
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
d
x
=
∫
−
∞
∞
μ
2
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
d
x
+
∫
−
∞
∞
(
x
−
μ
)
2
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
d
x
+
∫
−
∞
∞
2
μ
(
x
−
μ
)
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
d
x
EX^2 = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{[\mu+(x-\mu)]^2}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx \\ = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mu^2}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx+\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(x-\mu)^2}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx \\ + \int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\mu(x-\mu)}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx
EX2=∫−∞∞2π
σx2e−2σ2(x−μ)2dx=∫−∞∞2π
σ[μ+(x−μ)]2e−2σ2(x−μ)2dx=∫−∞∞2π
σμ2e−2σ2(x−μ)2dx+∫−∞∞2π
σ(x−μ)2e−2σ2(x−μ)2dx+∫−∞∞2π
σ2μ(x−μ)e−2σ2(x−μ)2dx
根据归一性，第一项等于
μ
2
\mu^2
μ2，根据奇函数的性质，第三项为0，下面计算第二项，
∫
−
∞
∞
(
x
−
μ
)
2
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
d
x
=
y
=
x
−
μ
∫
−
∞
∞
y
2
2
π
σ
e
−
y
2
2
σ
2
d
y
=
z
=
y
/
σ
σ
2
∫
−
∞
∞
z
2
2
π
e
−
z
2
2
d
z
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(x-\mu)^2}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx =_{y=x-\mu} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{y^2}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}}dy \\ =_{z=y/\sigma} \sigma^2 \int_{-\infty}^{\infty}\frac{z^2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz
∫−∞∞2π
σ(x−μ)2e−2σ2(x−μ)2dx=y=x−μ∫−∞∞2π
σy2e−2σ2y2dy=z=y/σσ2∫−∞∞2π
z2e−2z2dz
显然 ∫ − ∞ ∞ z 2 2 π e − z 2 2 d z \int_{-\infty}^{\infty}\frac{z^2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz ∫−∞∞2π z2e−2z2dz是标准正态分布的方差，所以第二项等于 σ 2 \sigma^2 σ2，于是 V a r ( X ) = E X 2 − ( E X ) 2 = σ 2 + μ 2 − μ 2 = σ 2 Var (X) = EX^2-(EX)^2 = \sigma^2 + \mu^2 - \mu^2 = \sigma^2 Var(X)=EX2−(EX)2=σ2+μ2−μ2=σ2