重力模型法

目录

综合考虑各个小区之间的交通时间、空间距离、运行费用等因素,通过引力模型来预测未来交通分布状态。

一、基本假设

1 2 3 G i G_i Gi​
1 q 11 q_{11} q11​ q 12 q_{12} q12​ q 13 q_{13} q13​ G 1 G_1 G1​
2 q 21 q_{21} q21​ q 22 q_{22} q22​ q 23 q_{23} q23​ G 2 G_2 G2​
3 q 31 q_{31} q31​ q 32 q_{32} q32​ q 33 q_{33} q33​ G 3 G_3 G3​
A j A_j Aj​ A 1 A_1 A1​ A 2 A_2 A2​ A 3 A_3 A3​

q i j q_{ij} qij​:小区 i i i到小区 j j j的交通分布量
G i G_i Gi​:小区 i i i的交通产生量
A j A_j Aj​:小区 j j j的交通产生量

1 2 3
1 R 11 R_{11} R11​ R 12 R_{12} R12​ R 13 R_{13} R13​
2 R 21 R_{21} R21​ R 22 R_{22} R22​ R 23 R_{23} R23​
3 R 31 R_{31} R31​ R 32 R_{32} R32​ R 33 R_{33} R33​

R i j R_{ij} Rij​:交通阻抗,反映交通区间交通便利程度的指标,是对交通区间交通设施状况和交通工具状况的综合反映。
重力模型法

1 2 3
1 f ( R 11 ) f(R_{11}) f(R11​) f ( R 12 ) f(R_{12}) f(R12​) f ( R 13 ) f(R_{13}) f(R13​)
2 f ( R 21 ) f(R_{21}) f(R21​) f ( R 22 ) f(R_{22}) f(R22​) f ( R 23 ) f(R_{23}) f(R23​)
3 f ( R 31 ) f(R_{31}) f(R31​) f ( R 32 ) f(R_{32}) f(R32​) f ( R 33 ) f(R_{33}) f(R33​)

f ( R i j ) f(R_{ij}) f(Rij​):摩阻系数,反映交通阻抗 R i j R_{ij} Rij​的影响,根据假设,应该设置为减函数,随着 R i j R_{ij} Rij​的增大而减小。

一些教科书上称 f ( R i j ) f(R_{ij}) f(Rij​)为交通阻抗函数是不合适的, R i j R_{ij} Rij​才是交通阻抗函数。

二、无约束重力模型

假设 f ( R i j ) = R i j − γ f(R_{ij})=R_{ij}^ {-\gamma} f(Rij​)=Rij−γ​,且 k i j = k k_{ij}=k kij​=k,则
q i j = k G i α A j β R i j γ q_{ij}=k\frac{G_i^\alpha A_j^\beta}{R_{ij}^\gamma} qij​=kRijγ​Giα​Ajβ​​ k k k, α \alpha α, β \beta β, γ \gamma γ为需要确定的参数。

步骤:
(1)对模型方程取对数,得到
l n ( q i j ) = l n k + α l n ( G i ) + β l n ( A j ) − γ l n ( R i j ) ln(q_{ij})=lnk+\alpha ln(G_i)+\beta ln(A_j)-\gamma ln(R_{ij}) ln(qij​)=lnk+αln(Gi​)+βln(Aj​)−γln(Rij​)

(2)通过拟合现状OD,用最小二乘法确定待定系数 k k k, α \alpha α, β \beta β, γ \gamma γ
如何理解最小二乘法?

(3)将预测的发生量和吸引量及交通阻抗代入无约束重力模型公式,计算 q i j q_{ij} qij​

(4)若 q i j q_{ij} qij​不满足约束条件,则使用增长率法进行迭代计算,使其满足约束条件。(可以使用平均增长率法)
q i j ′ = q i j ⋅ 1 2 [ G i ∑ j q i j + A j ∑ i q i j ] q_{ij}^{'}=q_{ij} \cdot \frac{1}{2}[\frac{G_i}{\displaystyle\sum_{j}q_{ij}}+\frac{A_j}{\displaystyle\sum_{i}q_{ij}}] qij′​=qij​⋅21​[j∑​qij​Gi​​+i∑​qij​Aj​​]
增长系数法

注意:
(1)模型不满足平衡条件,这也是其被称为无约束重力模型的原因
∑ i q i j ≠ A j \displaystyle\sum_{i}q_{ij} \neq A_j i∑​qij​​=Aj​ ∑ j q i j ≠ G i \displaystyle\sum_{j}q_{ij} \neq G_i j∑​qij​​=Gi​
(2)分区内部出行的计算会出现困难,因为小区内部出行,阻抗 R i j 较 小 R_{ij}较小 Rij​较小,如果 R i j → 0 R_{ij} \to 0 Rij​→0,则阻抗影响会被放大,导致预测不够准确
q i j = k G i α A j β R i j γ q_{ij}=k\frac{G_i^\alpha A_j^\beta}{R_{ij}^\gamma} qij​=kRijγ​Giα​Ajβ​​

三、乌尔希斯重力模型

q i j = k G i α A j β f ( R i j ) q_{ij}=kG_i^\alpha A_j^\beta f(R_{ij}) qij​=kGiα​Ajβ​f(Rij​)

乌尔希斯重力模型强制出行产生量等式 ∑ j q i j = G i \displaystyle\sum_{j}q_{ij} = G_i j∑​qij​=Gi​成立,假设 α = β = 1 \alpha=\beta=1 α=β=1,得
∑ j q i j = ∑ j k G i A j f ( R i j ) = G i \displaystyle\sum_{j}q_{ij} = \displaystyle\sum_{j}kG_i A_j f(R_{ij})=G_i j∑​qij​=j∑​kGi​Aj​f(Rij​)=Gi​ k = 1 ∑ j A j f ( R i j ) k=\frac{1}{\displaystyle\sum_{j}A_jf(R_{ij})} k=j∑​Aj​f(Rij​)1​
最终得到分布交通量的计算公式为
q i j = G i A i f ( R i j ) ∑ j A j f ( R i j ) q_{ij}=\frac{G_iA_if(R_{ij})}{\displaystyle\sum_{j}A_jf(R_{ij})} qij​=j∑​Aj​f(Rij​)Gi​Ai​f(Rij​)​

步骤:
(1)假设 f ( R i j ) = R i j − γ f(R_{ij})=R_{ij}^{- \gamma} f(Rij​)=Rij−γ​

(2)先假定 γ \gamma γ,将 G i G_i Gi​, A j A_j Aj​, R i j R_{ij} Rij​代入模型进行计算,得到 q i j q_{ij} qij​(GM分布交通量)

(3)计算GM分布的平均出行时间
R i j ‾ = ∑ i ∑ j ( q i j R i j ) ∑ i ∑ j q i j \overline{R_{ij}}=\frac{\displaystyle\sum_{i}\displaystyle\sum_{j}{(q_{ij}R_{ij})}}{\displaystyle\sum_{i}\displaystyle\sum_{j}q_{ij}} Rij​​=i∑​j∑​qij​i∑​j∑​(qij​Rij​)​

(4)两次计算的 ∣ R i j ′ ‾ − R i j ‾ ∣ R i j ‾ < ϵ \frac{|\overline{R^{'}_{ij}}-\overline{R_{ij}}|}{\overline{R_{ij}}}<\epsilon Rij​​∣Rij′​​−Rij​​∣​<ϵ即可,不满足则调整 γ \gamma γ直到满足为止。调整方法为:如果GM分布的 R i j ′ ‾ \overline{R^{'}_{ij}} Rij′​​大于现状分布 R i j ‾ \overline{R_{ij}} Rij​​,可增大 γ \gamma γ值,反之,可减小。

四、美国联邦公路局重力模型

q i j = G i ⋅ A j ⋅ f ( R i j ) ⋅ k i j ∑ m [ A m ⋅ f ( R i m ) ⋅ k i m ] q_{ij}=\frac{G_i \cdot A_j \cdot f(R_{ij}) \cdot k_{ij}}{\displaystyle\sum_{m}[A_m \cdot f(R_{im}) \cdot k_{im}]} qij​=m∑​[Am​⋅f(Rim​)⋅kim​]Gi​⋅Aj​⋅f(Rij​)⋅kij​​
先令 k i j = 1 k_{ij}=1 kij​=1,计算出 q i j q_{ij} qij​,因为单约束重力模型不满足平衡条件,即 ∑ i q i j ≠ A j \displaystyle\sum_{i}q_{ij} \neq A_j i∑​qij​​=Aj​,需要对其进行校正,
q i j ′ = q i j A j ∑ i q i j q^{'}_{ij}=q_{ij} \frac{A_j}{\displaystyle\sum_{i}q_{ij}} qij′​=qij​i∑​qij​Aj​​
此时吸引量平衡的条件 ∑ i q i j = A j \displaystyle\sum_{i}q_{ij} = A_j i∑​qij​=Aj​满足了,但是又不满足产生量平衡,即 ∑ j q i j ≠ G i \displaystyle\sum_{j}q_{ij} \neq G_i j∑​qij​​=Gi​,再次对其进行迭代校正
q i j ′ = q i j G i ∑ j q i j q^{'}_{ij}=q_{ij} \frac{G_i}{\displaystyle\sum_{j}q_{ij}} qij′​=qij​j∑​qij​Gi​​ 如此反复迭代,直至两个约束条件均满足为止。

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