目录
综合考虑各个小区之间的交通时间、空间距离、运行费用等因素，通过引力模型来预测未来交通分布状态。
一、基本假设
| 1 | 2 | 3 | G i G_i Gi | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | q 11 q_{11} q11 | q 12 q_{12} q12 | q 13 q_{13} q13 | G 1 G_1 G1 |
| 2 | q 21 q_{21} q21 | q 22 q_{22} q22 | q 23 q_{23} q23 | G 2 G_2 G2 |
| 3 | q 31 q_{31} q31 | q 32 q_{32} q32 | q 33 q_{33} q33 | G 3 G_3 G3 |
| A j A_j Aj | A 1 A_1 A1 | A 2 A_2 A2 | A 3 A_3 A3 |
q
i
j
q_{ij}
qij：小区
i
i
i到小区
j
j
j的交通分布量
G
i
G_i
Gi：小区
i
i
i的交通产生量
A
j
A_j
Aj：小区
j
j
j的交通产生量
| 1 | 2 | 3 | |
|---|---|---|---|
| 1 | R 11 R_{11} R11 | R 12 R_{12} R12 | R 13 R_{13} R13 |
| 2 | R 21 R_{21} R21 | R 22 R_{22} R22 | R 23 R_{23} R23 |
| 3 | R 31 R_{31} R31 | R 32 R_{32} R32 | R 33 R_{33} R33 |
R
i
j
R_{ij}
Rij：交通阻抗，反映交通区间交通便利程度的指标，是对交通区间交通设施状况和交通工具状况的综合反映。
| 1 | 2 | 3 | |
|---|---|---|---|
| 1 | f ( R 11 ) f(R_{11}) f(R11) | f ( R 12 ) f(R_{12}) f(R12) | f ( R 13 ) f(R_{13}) f(R13) |
| 2 | f ( R 21 ) f(R_{21}) f(R21) | f ( R 22 ) f(R_{22}) f(R22) | f ( R 23 ) f(R_{23}) f(R23) |
| 3 | f ( R 31 ) f(R_{31}) f(R31) | f ( R 32 ) f(R_{32}) f(R32) | f ( R 33 ) f(R_{33}) f(R33) |
f ( R i j ) f(R_{ij}) f(Rij)：摩阻系数，反映交通阻抗 R i j R_{ij} Rij的影响，根据假设，应该设置为减函数，随着 R i j R_{ij} Rij的增大而减小。
一些教科书上称 f ( R i j ) f(R_{ij}) f(Rij)为交通阻抗函数是不合适的， R i j R_{ij} Rij才是交通阻抗函数。
二、无约束重力模型
假设
f
(
R
i
j
)
=
R
i
j
−
γ
f(R_{ij})=R_{ij}^ {-\gamma}
f(Rij)=Rij−γ，且
k
i
j
=
k
k_{ij}=k
kij=k，则
q
i
j
=
k
G
i
α
A
j
β
R
i
j
γ
q_{ij}=k\frac{G_i^\alpha A_j^\beta}{R_{ij}^\gamma}
qij=kRijγGiαAjβ
k
k
k，
α
\alpha
α，
β
\beta
β，
γ
\gamma
γ为需要确定的参数。
步骤：
（1）对模型方程取对数，得到
l
n
(
q
i
j
)
=
l
n
k
+
α
l
n
(
G
i
)
+
β
l
n
(
A
j
)
−
γ
l
n
(
R
i
j
)
ln(q_{ij})=lnk+\alpha ln(G_i)+\beta ln(A_j)-\gamma ln(R_{ij})
ln(qij)=lnk+αln(Gi)+βln(Aj)−γln(Rij)
（2）通过拟合现状OD，用最小二乘法确定待定系数
k
k
k，
α
\alpha
α，
β
\beta
β，
γ
\gamma
γ
如何理解最小二乘法？
（3）将预测的发生量和吸引量及交通阻抗代入无约束重力模型公式，计算 q i j q_{ij} qij
（4）若
q
i
j
q_{ij}
qij不满足约束条件，则使用增长率法进行迭代计算，使其满足约束条件。（可以使用平均增长率法）
q
i
j
′
=
q
i
j
⋅
1
2
[
G
i
∑
j
q
i
j
+
A
j
∑
i
q
i
j
]
q_{ij}^{'}=q_{ij} \cdot \frac{1}{2}[\frac{G_i}{\displaystyle\sum_{j}q_{ij}}+\frac{A_j}{\displaystyle\sum_{i}q_{ij}}]
qij′=qij⋅21[j∑qijGi+i∑qijAj]
增长系数法
注意：
（1）模型不满足平衡条件，这也是其被称为无约束重力模型的原因
∑
i
q
i
j
≠
A
j
\displaystyle\sum_{i}q_{ij} \neq A_j
i∑qij=Aj
∑
j
q
i
j
≠
G
i
\displaystyle\sum_{j}q_{ij} \neq G_i
j∑qij=Gi
（2）分区内部出行的计算会出现困难，因为小区内部出行，阻抗
R
i
j
较
小
R_{ij}较小
Rij较小，如果
R
i
j
→
0
R_{ij} \to 0
Rij→0，则阻抗影响会被放大，导致预测不够准确
q
i
j
=
k
G
i
α
A
j
β
R
i
j
γ
q_{ij}=k\frac{G_i^\alpha A_j^\beta}{R_{ij}^\gamma}
qij=kRijγGiαAjβ
三、乌尔希斯重力模型
q i j = k G i α A j β f ( R i j ) q_{ij}=kG_i^\alpha A_j^\beta f(R_{ij}) qij=kGiαAjβf(Rij)
乌尔希斯重力模型强制出行产生量等式
∑
j
q
i
j
=
G
i
\displaystyle\sum_{j}q_{ij} = G_i
j∑qij=Gi成立，假设
α
=
β
=
1
\alpha=\beta=1
α=β=1，得
∑
j
q
i
j
=
∑
j
k
G
i
A
j
f
(
R
i
j
)
=
G
i
\displaystyle\sum_{j}q_{ij} = \displaystyle\sum_{j}kG_i A_j f(R_{ij})=G_i
j∑qij=j∑kGiAjf(Rij)=Gi
k
=
1
∑
j
A
j
f
(
R
i
j
)
k=\frac{1}{\displaystyle\sum_{j}A_jf(R_{ij})}
k=j∑Ajf(Rij)1
最终得到分布交通量的计算公式为
q
i
j
=
G
i
A
i
f
(
R
i
j
)
∑
j
A
j
f
(
R
i
j
)
q_{ij}=\frac{G_iA_if(R_{ij})}{\displaystyle\sum_{j}A_jf(R_{ij})}
qij=j∑Ajf(Rij)GiAif(Rij)
步骤：
（1）假设
f
(
R
i
j
)
=
R
i
j
−
γ
f(R_{ij})=R_{ij}^{- \gamma}
f(Rij)=Rij−γ
（2）先假定 γ \gamma γ，将 G i G_i Gi， A j A_j Aj， R i j R_{ij} Rij代入模型进行计算，得到 q i j q_{ij} qij（GM分布交通量）
（3）计算GM分布的平均出行时间
R
i
j
‾
=
∑
i
∑
j
(
q
i
j
R
i
j
)
∑
i
∑
j
q
i
j
\overline{R_{ij}}=\frac{\displaystyle\sum_{i}\displaystyle\sum_{j}{(q_{ij}R_{ij})}}{\displaystyle\sum_{i}\displaystyle\sum_{j}q_{ij}}
Rij=i∑j∑qiji∑j∑(qijRij)
（4）两次计算的 ∣ R i j ′ ‾ − R i j ‾ ∣ R i j ‾ < ϵ \frac{|\overline{R^{'}_{ij}}-\overline{R_{ij}}|}{\overline{R_{ij}}}<\epsilon Rij∣Rij′−Rij∣<ϵ即可，不满足则调整 γ \gamma γ直到满足为止。调整方法为：如果GM分布的 R i j ′ ‾ \overline{R^{'}_{ij}} Rij′大于现状分布 R i j ‾ \overline{R_{ij}} Rij，可增大 γ \gamma γ值，反之，可减小。
四、美国联邦公路局重力模型
q
i
j
=
G
i
⋅
A
j
⋅
f
(
R
i
j
)
⋅
k
i
j
∑
m
[
A
m
⋅
f
(
R
i
m
)
⋅
k
i
m
]
q_{ij}=\frac{G_i \cdot A_j \cdot f(R_{ij}) \cdot k_{ij}}{\displaystyle\sum_{m}[A_m \cdot f(R_{im}) \cdot k_{im}]}
qij=m∑[Am⋅f(Rim)⋅kim]Gi⋅Aj⋅f(Rij)⋅kij
先令
k
i
j
=
1
k_{ij}=1
kij=1，计算出
q
i
j
q_{ij}
qij，因为单约束重力模型不满足平衡条件，即
∑
i
q
i
j
≠
A
j
\displaystyle\sum_{i}q_{ij} \neq A_j
i∑qij=Aj，需要对其进行校正，
q
i
j
′
=
q
i
j
A
j
∑
i
q
i
j
q^{'}_{ij}=q_{ij} \frac{A_j}{\displaystyle\sum_{i}q_{ij}}
qij′=qiji∑qijAj
此时吸引量平衡的条件
∑
i
q
i
j
=
A
j
\displaystyle\sum_{i}q_{ij} = A_j
i∑qij=Aj满足了，但是又不满足产生量平衡，即
∑
j
q
i
j
≠
G
i
\displaystyle\sum_{j}q_{ij} \neq G_i
j∑qij=Gi，再次对其进行迭代校正
q
i
j
′
=
q
i
j
G
i
∑
j
q
i
j
q^{'}_{ij}=q_{ij} \frac{G_i}{\displaystyle\sum_{j}q_{ij}}
qij′=qijj∑qijGi 如此反复迭代，直至两个约束条件均满足为止。