1、斐波那契数列的递归求法（不推荐使用，一般都会超时）：

原理：把fib(n) 问题的计算拆分成 fib(n-1)和fib(n−2) 两个子问题的计算，并递归，以 f(0) 和 f(1) 为终止条件。

缺点：需要大量的递归计算，用该很容易超时。

#include<iostream>
using namespace std;

long fib(int n){
	if(n==0 || n==1){
		return n;
	}
	return fib(n-1)+fib(n-2);
}

int main(){
	int n;
	cin>>n;
	cout<<fib(n);
} 

 2、记忆化递归法（以空间换时间的方法）：

原理：在递归法的基础上，新建一个长度为 n 的数组，用于在递归时存储 f(0) 至 f(n) 的数字值，重复遇到某数字则直接从数组取用，避免了重复的递归计算。因为fib(n)的n是一定的，无论调用多少次都会得到相同的结果。比如我们求fib(10),如果使用上面的递归方式会多次调用fib(7)。如果我们用一个数组将fib(7)的结果存起来，那么当再需要用fib(7)的时候直接使用就可以了，就不需要重复计算，这时候时间复杂度就得到了极大的优化降到了O(n)。

缺点：因为需要开一个数组，长度为n,空间复杂度较高。但是将这两种一块运行比较，你会发现当n比较大的时候，这两种方法得出结果的时间相差很大。

#include<iostream>
using namespace std;

//申请一个足够大的数组
long memo[1000000] = {0};
long memo2[1000000] = {0};

//写法1: 
long fib(int n){
	if(n==0 || n==1){
		return n;
	}
	if(memo[n] != 0){
		return memo[n];	//如果计算过，就返回 
	}
	//没有计算过则继续算 
	return memo[n] = fib(n-1) + fib(n-2);
}

//写法2：
long fib2(int n){
	if(n==0 || n==1){
		return n;
	}
	if(memo2[n] == 0){
		memo2[n] = fib2(n-1) + fib2(n-2);
	}
	return memo2[n];
} 

int main(){
	int n;
	cin>>n;
	cout<<fib(n)<<endl;
	cout<<fib2(n);
	return 0;
}

3、优化后的动态规划算法（以时间换空间的方法）：

原理：由于斐波那契数列第 n 项只与第 n−1 和第 n−2 项有关，因此只需要初始化三个整形变量 sum,a,b,利用辅助变量 sum 使 a,b 两数字交替前进即可。

时间复杂度：O(n) 原因：计算fib(n)要循环 n 次，每次循环内的计算操作时间复杂度为O(1)

空间复杂度：只需要定义几个变量，因此空间复杂度为O(1)

#include<iostream>
using namespace std;

long fib(int n){
	int a = 0,b = 1;
	long sum;
	for(int i=0;i<n;i++){
		sum = a + b;
		a = b;
		b = sum;
	}
	return a;	//注意应该return a;而不是sum,sum是fib(n+1) 
}

int main(){
	int n; 
	cin>>n;
	cout<<fib(n);
	return 0;
}

4、循环求余法以及大数的处理：

#include<iostream>
using namespace std;

long fib(int n){
	int a = 0,b = 1;
	long sum;
	for(int i=0;i<n;i++){
		sum = (a + b)%1000000007;
		a = b;
		b = sum;
	}
	return a;	//注意应该return a;而不是sum,sum是fib(n+1) 
}

int main(){
	int n; 
	cin>>n;
	cout<<fib(n);
	return 0;
}

---

相关题目练习：力扣 面试题10- I. 斐波那契数列

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        int a = 0,b = 1,sum;
	    for(int i=0;i<n;i++){
		    sum = (a + b) % 1000000007;
		    a = b;
		    b = sum;
	    }
	    return a;
    }
};