设函数 \(f(x)\) 定义在整个数轴上具有各阶导数,并且对于任意 \(x\), 有

\[\left|f^{(n)}(x)-f^{(n-1)}(x)\right|<\frac{1}{n^{2}}, n=1,2, \cdots \]

求证:\(\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} f^{(n)}(x)=c e^{x}\).(\(c\)是常数)

Proof:

设 \(a_n=f^{(n)}(0)\), 则 \(\displaystyle |a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{n^2}\).由

\[a_{n}=a_{0}+\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{k-1}\right) \]

知 \(\{a_n\}\) 的极限存在, 由条件可得

\[\left|\left(e^{-x} f^{(n-1)}(x)\right)^{\prime}\right|=\left|e^{-x}\left(f^{(n)}-f^{(n-1)}\right)\right|<\frac{1}{n^{2}} e^{-x} \]

将此式在 \((0,x)\) 上积分,可得

\[\left|e^{-x} f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(0)\right| < \frac{1}{n^{2}}\left(1-e^{-x}\right) \]

即

\[\left|f^{(n-1)}(x)-e^{x} f^{(n-1)}(0)\right| < \frac{1}{n^{2}}\left(e^{x}-1\right) \]

由此可得

\[\lim _{n \rightarrow \infty} f^{(n)}(x)=e^{x} \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=c e^{x} \]