最近在做数论题，积累一些式子。

\([x=1]=\sum_{d|x}\mu(d)\)(莫比乌斯函数定义)

然后才推出莫比乌斯函数的公式以及莫比乌斯函数是积性函数。

\(\sum_{i=1}^n[\gcd(i,n)=1]=\varphi(n)\)(欧拉函数定义)

根据一些计数原理，能推出来欧拉函数的公式，从而推出欧拉函数是积性函数。

\(\sum_{i=1}^ni[\gcd(i,n)=1]=\frac n 2\varphi(n)\)(当n=1时为1)

或者写为\(\sum_{i=1}^ni[\gcd(i,n)=1]=\frac {[n=1]+n\varphi(n)}{2}\)

这是利用1~n-1内与n互质的数字有对称性，关于\(\frac n 2\)是对称的。我记得GXZ大佬曾经讲过。

我们考虑\(x\in[1,n)\)不与\(n\)互质，那么\(x\)注定和\(n\)有公因子，那么\(n-x\)和\(n\)也注定有公因子(显然)，所以1~n-1内所有不互质的数的位置是关于\(\frac n2\)对称的。因为1~n的数分为两种：与n互质或者不与n互质，因为互质的都对称了，所以不互质的也对称了。

所以假设一共有\(\varphi(n)\)个数，由于每一对对称的数的和都是\(n\)，所以平均下来每个数是\(\frac n 2\)，所以这个式子成立。至于\(n=1\)注意特殊情况要特判。

有了这个式子，在做一些和lcm有关的题就不用求mu提取d了，简化了做题步骤。（其实是因为那种老套路做不出来观察题解才想起有这么个式子的）

\(\sum_{d|n}\varphi(d)=n\)(欧拉反演???)

雷子卷积形式为\(\varphi*\mathbf{1}=\mathbf{id}\)

推导过程：

\(n=\sum_{d|n}\sum_{i=1}^n[gcd(i,n)=d]=\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{n/d}[gcd(i,n/d)=1]=\sum_{d|n}\varphi(n/d)=\sum_{d|n}\varphi(d)\)

另外还有广义形式\((\mathbf{id_n}\cdot\varphi)*(\mathbf{id_n})=\mathbf{id_{n+1}}\)

杜教筛的时候会用到这类性质：例如BZOJ4916--n=1 loj6229 n=2

做题时候一般可以强行把一个数拆成欧拉反演的形式，把一个[?=1]强行拆成莫比乌斯反演的形式

先更新到这