悬线法DP总结

问题模型

求满足某种条件（如01交替）的最大矩形（正方形）

思想

先预处理出\(ml[i][j],mr[i][j],mt[i][j]\)，分别表示当前位置\((i,j)\)能向左扩展到的最左边的编号、能向右扩展到的最右边的编号、能向上扩展到的最大高度。

然后在做\(DP\)时，除第一行，每行根据上一行的状态更新当前状态，逐行扫一遍。复杂度\(O(n\times m)\)

题

[USACO5.3]巨大的牛棚Big Barn

洛谷题面

题意：求最大正方形

#include <cstdio>
#define MAXN 1010
#define MAX(A,B) ((A)>(B)?(A):(B))
#define MIN(A,B) ((A)<(B)?(A):(B))
using namespace std;
int n,t,ans;
bool mp[MAXN][MAXN];
int ml[MAXN][MAXN],mr[MAXN][MAXN],mt[MAXN][MAXN];
int main()
{
    scanf("%d %d", &n, &t);
    while(t--){
        int x,y;
        scanf("%d %d", &x, &y);
        mp[x][y]=1;
    }
    for(register int i=1;i<=n;++i){
        for(register int j=1;j<=n;++j){
            ml[i][j]=mr[i][j]=j;
            mt[i][j]=1;
        }
    }
    for(register int i=1;i<=n;++i)
    for(register int j=2;j<=n;++j)
        if(mp[i][j-1]==0&&mp[i][j]==0)
            ml[i][j]=ml[i][j-1]; // 预处理出能向左扩展到的最左边的编号
    for(register int i=1;i<=n;++i)
    for(register int j=n-1;j>=1;--j)
        if(mp[i][j+1]==0&&mp[i][j]==0)
            mr[i][j]=mr[i][j+1]; // 预处理出能向右扩展到的最右边的编号
    for(register int i=1;i<=n;++i)
    for(register int j=2;j<=n;++j){
        if(i>1&&mp[i-1][j]==0&&mp[i][j]==0){ // 除第一行，每行根据上一行的状态更新当前状态
            ml[i][j]=MAX(ml[i][j], ml[i-1][j]); // 注意取MAX，获得合法的ml
            mr[i][j]=MIN(mr[i][j], mr[i-1][j]); // 注意取MIN，获得合法的mr
            mt[i][j]=mt[i-1][j]+1;
        }
        int w=MIN(mr[i][j]-ml[i][j]+1, mt[i][j]); // 因为是正方形
        ans=MAX(ans, w);
    }
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

[ZJOI2007]棋盘制作

P1169 洛谷题面

题意：求最大01交替正方形、长方形

#include <cstdio>
#define MAXN 2002
#define INF 0x3fffffff
#define MAX(A,B) ((A)>(B)?(A):(B))
#define MIN(A,B) ((A)<(B)?(A):(B))
using namespace std;
int n,m,ml[MAXN][MAXN],mr[MAXN][MAXN],mt[MAXN][MAXN];
int ans1, ans2;
bool mp[MAXN][MAXN];
int main()
{
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=m;++j)
        scanf("%d", &mp[i][j]),ml[i][j]=mr[i][j]=j,mt[i][j]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=2;j<=m;++j)
        if(mp[i][j]!=mp[i][j-1]) // 01扩展
            ml[i][j]=MIN(ml[i][j-1], ml[i][j]); // 预处理出能向左扩展到的最左边的编号
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=m-1;j>=1;--j)
        if(mp[i][j]!=mp[i][j+1]) // 01扩展
            mr[i][j]=MAX(mr[i][j+1], mr[i][j]); // 预处理出能向右扩展到的最右边的编号
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=2;j<=m;++j){
        if(i>1&&mp[i][j]!=mp[i-1][j]){ // 除第一行，每行根据上一行的状态更新当前状态
            ml[i][j]=MAX(ml[i][j], ml[i-1][j]);
            mr[i][j]=MIN(mr[i][j], mr[i-1][j]);
            mt[i][j]=mt[i-1][j]+1;
        }
        int w = mr[i][j] - ml[i][j]+1;
        int h = mt[i][j];
        ans1 = MAX(MIN(w,h)*MIN(w,h), ans1); // 找出最大合法正方形
        ans2 = MAX(w*h, ans2); // 找出最大合法矩形
    }
    printf("%d\n%d", ans1, ans2);
    return 0;
}

P4147 玉蟾宫

P4147 玉蟾宫

题意：毒瘤输入，求最大正方形

#include <cstdio>
#define MAXN 1010
#define MAX(A,B) ((A)>(B)?(A):(B))
#define MIN(A,B) ((A)<(B)?(A):(B))
using namespace std;
int n,m,ans;
bool mp[MAXN][MAXN];
int ml[MAXN][MAXN],mr[MAXN][MAXN],mt[MAXN][MAXN];
int read(){
    char in=getchar();
    while(in!='F'&&in!='R') in=getchar();
    if(in=='F') return 1;
    return 0;
}
int main()
{
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for(register int i=1;i<=n;++i){
        for(register int j=1;j<=m;++j){
            mp[i][j]=read();
            ml[i][j]=mr[i][j]=j;
            mt[i][j]=1;
        }
    }
    for(register int i=1;i<=n;++i)
    for(register int j=2;j<=m;++j)
        if(mp[i][j-1]==1&&mp[i][j]==1)
            ml[i][j]=ml[i][j-1];
    for(register int i=1;i<=n;++i)
    for(register int j=m-1;j>=1;--j)
        if(mp[i][j+1]==1&&mp[i][j]==1)
            mr[i][j]=mr[i][j+1];
    for(register int i=1;i<=n;++i)
    for(register int j=2;j<=m;++j){
        if(i>1&&mp[i-1][j]==1&&mp[i][j]==1){
            ml[i][j]=MAX(ml[i][j], ml[i-1][j]);
            mr[i][j]=MIN(mr[i][j], mr[i-1][j]);
            mt[i][j]=mt[i-1][j]+1;
        }
        int w=mr[i][j]-ml[i][j]+1;
        ans=MAX(ans, w*mt[i][j]);
    }
    printf("%d", 3*ans);
    return 0;
}