1. 什么是编辑距离?

编辑距离（Edit Distance），又称Levenshtein距离，是指两个字串之间，由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符，插入一个字符，删除一个字符。一般来说，编辑距离越小，两个串的相似度越大。

举个例子，给定 2 个字符串str_a=“yes”, str_b=“yeah”. 编辑距离是将 str_a 转换为 str_b 的最少操作次数，操作只允许如下 3 种：

• 插入一个字符，例如：abc -> ab
• 删除一个字符，例如：ab -> abc
• 替换一个字符，例如：abc -> abd

那么从str_a到str_b的转换过程总共需要两步：yes > yeas > yeah 或者 yes > yea > yeah，所以str_a和str_b的编辑距离为2。

2. 如何计算编辑距离？

假设字符串a, 共m位，从a[1]到a[m], 字符串b, 共m位, 从b[1]到b[m]. 用二维数组D来保存由a向b的编辑距离，其中D[i][j]表示字符串a[1]-a[i]转换为b[1]-b[i]的编辑距离.

2.1 递归算法

递归的思想需要可以将问题拆解，假设a[i]和b[j]分别是字符串a和b的最后一位，那么要把问题拆解，有三种选择：

• a[i-1], b[j]，即用a[1:i-1]继续和b[1:j]比较，删除了a[i]，需要额外一步代价；
• a[i-1], b[j-1]，即用a[1:i-1]继续和b[1:j-1]比较，如果a[i]和b[j]相等，那么无需额外代价，否则需要额外一步代价将a[i]修改为b[j]；
• a[i], b[j-1]，即用a[1:i]继续和b[1:j-1]比较，删除了b[j]，需要额外一步代价；

换一种说法，也就是说具体要拆解为哪一种，需要考虑a[i]和b[j]的比值，以及这三种方法的代价。即如下递归规律：

• 当a[i]等于b[j]时，比如 abc和bbc，那么D[i][j] = D[i-1][j-1], 即等于ab和bb的编辑距离；
• 当a[i]不等于b[j]时，D[i][j]等于如下3项的最小值：
  1. D[i-1][j] + 1，即删除a[i]， 比如abcd -> abc的编辑距离 = abc -> abc 的编辑距离 + 1
  2. D[i][j-1] + 1，即插入b[j]， 比如ab -> abc 的编辑距离 = abc -> abc 的编辑距离 + 1
  3. D[i-1][j-1] + 1，将a[i]替换为b[j]， 比如abd -> abc 的编辑距离 = abc -> abc 的编辑距离 + 1

那么递归边界如何设定呢？

递归边界就是a[1:i]或者b[1:j]'为空的时候，即：

a[i][0] = i, b字符串为空，那么需要将a[1]-a[i]全部删除，所以编辑距离为i

a[0][j] = j, a字符串为空，那么需要向a插入b[1]-b[j]，所以编辑距离为j

Python代码:

def recursive_edit_distance(str_a, str_b):

  if len(str_a) == 0:

    return len(str_b)

  elif len(str_b) == 0:

    return len(str_a)

  elif str_a[len(str_a)-1] == str_b[len(str_b)-1]:

    return recursive_edit_distance(str_a[0:-1], str_b[0:-1])

  else:

    return min([

      recursive_edit_distance(str_a[:-1], str_b),

      recursive_edit_distance(str_a, str_b[:-1]),

      recursive_edit_distance(str_a[:-1], str_b[:-1])

    ]) + 1

str_a = "yes"

str_b = "yeah"

print(recursive_edit_distance(str_a, str_b))

# output is : 2

算法分析：该算法逻辑清晰，可读性较高，但是对于计算机而言却很不友好，时间复杂度高，随字符串长度呈指数级增长，而且递归算法的通病就是调用栈太深的时候，需要占用较多计算机资源。

2.2 动态规划

如果熟悉动态规划的同学，从上边的思路可以很容易推理出动态规划的递推公式：

if a[i] == b[j]:

    edit_distance(a[i], b[j]) = edit_distance(a[i-1], b[j-1])

if a[i] != b[j]:

    edit_distance(a[i], b[j]) = MIN (

        edit_distance(a[i-1], b[j]) + 1,   # 从a中删除a[i]

        edit_distance(a[i], b[j-1]) + 1,  # 向a中插入b[j]

        edit_distance(a[i-1], b[j-1]) + 1  # 将a[i]修改为b[j]

    )

转换为Python，也就是用二维数组D来记录从a向b的转换过程：

def edit_distance(str_a, str_b):

  if str_a == str_b:

    return 0

  if len(str_a) == 0:

    return len(str_b)

  if len(str_b) == 0:

    return len(str_a)

# 初始化dp矩阵

  dp = [[0 for _ in range(len(str_a) + 1)] for _ in range(len(str_b) + 1)]

# 当a为空，距离和b的长度相同

  for i in range(len(str_b) + 1):

    dp[i][0] = i

# 当b为空，距离和a和长度相同

  for j in range(len(str_a) + 1):

    dp[0][j] = j

# 递归计算

  for i in range(1, len(str_b) + 1):

    for j in range(1, len(str_a) + 1):

      dp[i][j] = dp[i-1][j-1]

      if str_a[j-1] != str_b[i-1]:

        dp[i][j] = min([dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]]) + 1

  return dp[len(str_b)][len(str_a)]

str_a = "yes"

str_b = "yeah"

print(edit_distance(str_a, str_b))

# output is : 2

2.3 动态规划, 优化空间复杂度

上边的算法中用二维数组来存储从a到b的距离，从递推公式来看，其实每一步dp[i][j]的计算只依赖a[i]和b[j]是否相等以及矩阵中的三个值：

• 左边的值，left = dp[i-1][j]
• 左上角的值，left_up = dp[i-1][j-1]
• 上边的值，up = dp[i][j-1]

其实我们可以用一维数组来达到上述目的，具体可以看Python代码：

def edit_distance(str_a, str_b):

  if str_a == str_b:

    return 0

  if len(str_a) == 0:

    return len(str_b)

  if len(str_b) == 0:

    return len(str_a)

  dp = [x for x in range(len(str_b) + 1)]

  for i in range(1, len(str_a) + 1):

    # 注意每次left_up和dp[0]的初始化

    left_up = i - 1

    dp[0] = i # 当前轮最左的left

    for j in range(1, len(str_b) + 1):

      up= dp[j]  # j是上一轮的值，即up

      left = dp[j-1]  # j-1是当前轮的值，即left

      if str_a[i-1] == str_b[j-1]:

        dp[j] = left_up

      else:

        dp[j] = min([left, up, left_up]) + 1

      left_up = up # 每移动一步，上一轮的up就变成了left_up

  return dp[len(str_b)]

str_a = "yes"

str_b = "yeah"

print(edit_distance(str_a, str_b))

# output is : 2

2.4 打印编辑过程

def edit_distance_Omn(str_a, str_b):

  if str_a == str_b:

    return 0

  if len(str_a) == 0:

    return len(str_b)

  if len(str_b) == 0:

    return len(str_a)

  dp = [[0 for _ in range(len(str_a) + 1)] for _ in range(len(str_b) + 1)]

  for i in range(len(str_b) + 1):

    dp[i][0] = i

  for j in range(len(str_a) + 1):

    dp[0][j] = j

  for i in range(1, len(str_b) + 1):

    for j in range(1, len(str_a) + 1):

      dp[i][j] = dp[i-1][j-1]

      if str_a[j-1] != str_b[i-1]:

        dp[i][j] = min([dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]]) + 1

  #打印完整路径矩阵（这一步非必要）

  for i in range(len(str_b) + 1):

    for j in range(len(str_a) + 1):

      print dp[i][j],

    print

  # 准备倒着查询编辑路径，从右下角开始

  i , j = len(str_b), len(str_a)

  op_list = []  # 记录编辑操作

  while i > 0 and j > 0:

    if dp[i][j] == dp[i-1][j-1]:

      op_list.append("keep [ {} ]".format(str_b[i-1]))

      i, j = i-1, j-1

      continue

    if dp[i][j] == dp[i-1][j]  + 1:

      op_list.append("remove [ {} ]".format(str_b[i-1]))

      i, j = i-1, j

      continue

    if dp[i][j] == dp[i-1][j-1] + 1:

      op_list.append("change [ {} ] to [ {} ]".format(str_b[i-1], str_a[j-1]))

      i, j = i-1, j-1

      continue

    if dp[i][j] == dp[i][j-1] + 1:

      op_list.append("insert [ {} ]".format(str_a[j-1]))

      i, j = i, j-1

  for i in range(len(op_list)):

    print op_list[len(op_list)-i-1]

  return dp[len(str_b)][len(str_a)]

str_a = "yesxxxxxx"

str_b = "yeahxxxxxhh"

print(edit_distance(str_a, str_b))

输出

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

3 2 1 1 2 3 4 5 6 7

4 3 2 2 2 3 4 5 6 7

5 4 3 3 2 2 3 4 5 6

6 5 4 4 3 2 2 3 4 5

7 6 5 5 4 3 2 2 3 4

8 7 6 6 5 4 3 2 2 3

9 8 7 7 6 5 4 3 2 2

10 9 8 8 7 6 5 4 3 3

11 10 9 9 8 7 6 5 4 4

keep [ y ]

keep [ e ]

change [ a ] to [ s ]

change [ h ] to [ x ]

keep [ x ]

keep [ x ]

keep [ x ]

keep [ x ]

keep [ x ]

remove [ h ]

remove [ h ]

4