Java与算法之(13) - 二叉搜索树

2023-07-29 15:49:10

查找是指在一批记录中找出满足指定条件的某一记录的过程，例如在数组{ 8, 4, 12, 2, 6, 10, 14, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 }中查找数字15，实现代码很简单：

  1. int key = 15;
  2. int[] datas = new int[] { 8, 4, 12, 2, 6, 10, 14, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 };
  3. for(int i = 0; i < datas.length; i++) {
  4. if(datas[i] == key) {
  5. System.out.println("找到了, 共查找" + (i + 1) + "次");
  6. break;
  7. }
  8. }

但是查找效率并不稳定，如果查找8，只需要比较一次，查找15则需要比较15次。如果数组扩大到1亿个数，而查找的数字恰好排在最后，查找则变得非常低效。

更好的查找方式是使用二叉搜索树，首先用数组构建二叉树，如下图：

Java与算法之(13) - 二叉搜索树

二叉树的相关基础知识可参考：Java与算法之(7) - 完全二叉树

注意上面这棵二叉树的特点，每个左子节点的值都比父节点小，每个右子节点的值都比父节点大。满足这个条件的二叉树称为二叉搜索树（Binary Search Tree），也叫二叉排序树（Binary Sorting Tree）。

根据这个特性，可以得出查找的规律。以查找15为例，从根节点8开始比较，因15>8，（如果存在）则一定在8的右子树内；与右子树12比较，因15>12，（如果存在）则一定在12的右子树内；与14比较。。。与15比较，找到目标。

如果查找5，则依次比较8、4、6、5。

在这棵树中，查找任何一个数字，最多需要比较4次（约log2(15)）。介绍查找方法之前，先看如何构建这棵树。

1 插入节点

用数据描述这棵树，首选需要描述节点。用一个类来表示，每个节点包括本身的值及左右两个子节点的指针。

  1. private static class Node {
  2. Node leftChild;
  3. Node rightChild;
  4. int data;
  5. public Node(int data) {
  6. this.data = data;
  7. }
  8. }

树由节点组成，一个一个节点加进去，树叶逐渐变得枝繁叶茂。构建树的过程可以分解成不断重复的插入节点行为。

第一个加入的节点做为根节点，以后加入节点的操作和前面所述的查询过程一样，从根开始比较，如果小于则和左子节点比较，如果大于则和右子节点比较，不断重复这个过程直到到达叶子节点。比叶子节点小则做为叶子节点的左子节点，大则做为右子节点。

构建过程如下：

Java与算法之(13) - 二叉搜索树

Java与算法之(13) - 二叉搜索树

Java与算法之(13) - 二叉搜索树

Java与算法之(13) - 二叉搜索树

Java与算法之(13) - 二叉搜索树

Java与算法之(13) - 二叉搜索树

这个过程的逻辑是一直向下寻找，直到没有子节点为止。整个过程适合用递归的方式，主要代码如下：

  1. public void add(int key) {
  2. if(root == null) {
  3. root = new Node(key);
  4. return;
  5. }
  6. addNode(root, new Node(key));
  7. }
  8. private void addNode(Node parent, Node child) {
  9. if(child.data == parent.data) {
  10. return;
  11. }
  12. if(child.data < parent.data) {
  13. if(parent.leftChild != null) {
  14. addNode(parent.leftChild, child);
  15. } else {
  16. parent.leftChild = child;
  17. }
  18. } else {
  19. if(parent.rightChild != null) {
  20. addNode(parent.rightChild, child);
  21. } else {
  22. parent.rightChild = child;
  23. }
  24. }
  25. }

2 查找节点

查找一个节点和插入一个节点的流程很相似，但是结果相反。插入节点是一直向下寻找，找到则插入失败，找不到则做为叶子节点加入树中。查找节点是一直向下寻找，找到则成功返回，找不到则查找失败。

代码如下：

  1. public void search(int key) {
  2. this.steps = 0;
  3. Node node = searchNode(root, key);
  4. if(node == null) {
  5. System.out.println("共查找" + this.steps + "次, 未找到" + key);
  6. } else {
  7. System.out.println("共查找" + this.steps + "次, 搜索到" + key);
  8. }
  9. }
  10. private Node searchNode(Node from, int key) {
  11. this.steps++;
  12. if(from == null || key == from.data) {
  13. return from;
  14. } else if(key > from.data) {
  15. return searchNode(from.rightChild, key);
  16. } else {
  17. return searchNode(from.leftChild, key);
  18. }
  19. }

3 删除节点

在二叉搜索树中删除一个节点后，需要调整二叉树的结构，使其仍然保持二叉搜索树的特点。以被删除节点拥有子节点的情况，分三种情况考虑。见下图：

Java与算法之(13) - 二叉搜索树

  • 15节点左右子节点都没有，删除时直接把父节点14的右子节点设置为null即可
  • 2节点没有右子节点，删除时需要把左子树连接回树中，即把4的左子节点指向1；6节点没有左子节点，删除时需要把右子树连接回书中，即把4的右子节点指向7
  • 8节点同时拥有左右子节点，删除规则是先找到右子节点即12，然后递归12节点的左子节点，直到叶子节点，这张图中将找到9。设置8节点的值为9，并删除9节点。

按这个规则推导其他数字删除的步骤：

删除4，先找到6，6没有左子节点，查找结束，将4节点的值设置为6，按规则2删除6节点。

删除12，先找到14，递归左子节点找到13，设置12节点的值为13，删除13。

二叉搜索数完整代码如下：

  1. public class BinarySearchTree {
  2. private Node root;
  3. private int steps;
  4. /**
  5. * 插入节点
  6. * @param key
  7. */
  8. public void add(int key) {
  9. if(root == null) {
  10. root = new Node(key);
  11. return;
  12. }
  13. addNode(root, new Node(key));
  14. }
  15. private void addNode(Node parent, Node child) {
  16. if(child.data == parent.data) {
  17. return;
  18. }
  19. if(child.data < parent.data) {
  20. if(parent.leftChild != null) {
  21. addNode(parent.leftChild, child);
  22. } else {
  23. parent.leftChild = child;
  24. }
  25. } else {
  26. if(parent.rightChild != null) {
  27. addNode(parent.rightChild, child);
  28. } else {
  29. parent.rightChild = child;
  30. }
  31. }
  32. }
  33. /**
  34. * 查找节点
  35. * @param key
  36. */
  37. public void search(int key) {
  38. this.steps = 0;
  39. Node node = searchNode(root, key);
  40. if(node == null) {
  41. System.out.println("共查找" + this.steps + "次, 未找到" + key);
  42. } else {
  43. System.out.println("共查找" + this.steps + "次, 搜索到" + key);
  44. }
  45. }
  46. private Node searchNode(Node from, int key) {
  47. this.steps++;
  48. if(from == null || key == from.data) {
  49. return from;
  50. } else if(key > from.data) {
  51. return searchNode(from.rightChild, key);
  52. } else {
  53. return searchNode(from.leftChild, key);
  54. }
  55. }
  56. /**
  57. * 删除节点
  58. * @param key
  59. */
  60. public void delete(int key) {
  61. Node child = root;
  62. Node parent = child;
  63. boolean isLeftChild = true;
  64. while(child != null) {
  65. if(child.data == key) {
  66. deleteNode(parent, child, isLeftChild);
  67. child = null;
  68. } else if(key < child.data) {
  69. isLeftChild = true;
  70. parent = child;
  71. child = child.leftChild;
  72. } else {
  73. isLeftChild = false;
  74. parent = child;
  75. child = child.rightChild;
  76. }
  77. }
  78. }
  79. private void deleteNode(Node parent, Node child, boolean isLeftChild) {
  80. if(child.leftChild == null && child.rightChild == null) {
  81. if(isLeftChild) {
  82. parent.leftChild = null;
  83. } else {
  84. parent.rightChild = null;
  85. }
  86. } else if(child.leftChild == null) {
  87. if(isLeftChild) {
  88. parent.leftChild = child.rightChild;
  89. } else {
  90. parent.rightChild = child.rightChild;
  91. }
  92. } else if(child.rightChild == null) {
  93. if(isLeftChild) {
  94. parent.leftChild = child.leftChild;
  95. } else {
  96. parent.rightChild = child.leftChild;
  97. }
  98. } else {
  99. Node leaf = child.rightChild;
  100. parent = child;
  101. while(leaf.leftChild != null) {
  102. parent = leaf;
  103. leaf = leaf.leftChild;
  104. }
  105. child.data = leaf.data;
  106. if(parent != child)
  107. parent.leftChild = leaf.leftChild;
  108. else
  109. parent.rightChild = leaf.rightChild;
  110. }
  111. }
  112. /**
  113. * 中序遍历二叉搜索树, 结果是从小到大排列的
  114. * @param node
  115. */
  116. public void inOrder(Node node) {
  117. if(node == null) {
  118. return;
  119. }
  120. inOrder(node.leftChild);
  121. System.out.print(node.data + " ");
  122. inOrder(node.rightChild);
  123. }
  124. private static class Node {
  125. Node leftChild;
  126. Node rightChild;
  127. int data;
  128. public Node(int data) {
  129. this.data = data;
  130. }
  131. }
  132. public static void main(String[] args) {
  133. int[] datas = new int[] { 8, 4, 12, 2, 6, 10, 14, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 };
  134. BinarySearchTree bsTree = new BinarySearchTree();
  135. for(int i = 0; i < datas.length; i++) {
  136. bsTree.add(datas[i]);
  137. }
  138. System.out.print("中序遍历");
  139. bsTree.inOrder(bsTree.root);
  140. System.out.println();
  141. bsTree.search(8);
  142. bsTree.search(12);
  143. bsTree.search(15);
  144. System.out.println("删除节点8");
  145. bsTree.delete(8);
  146. System.out.print("中序遍历");
  147. bsTree.inOrder(bsTree.root);
  148. System.out.println();
  149. bsTree.search(8);
  150. }
  151. }

运行结果：

  1. 中序遍历1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
  2. 共查找1次, 搜索到8
  3. 共查找2次, 搜索到12
  4. 共查找4次, 搜索到15
  5. 删除节点8
  6. 中序遍历1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15
  7. 共查找5次, 未找到8

本例中的二叉树结构是一种理想情况，如果对数组{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}使用上面的方法构建二叉搜索树，动手画一下就可以发现最终得到的仍然是一个链表，查找15需要比较15次。

Java与算法之(13) - 二叉搜索树

这棵树根的左右严重失衡，左侧一个子节点都没有，而右侧的深度为15。为了保证查找的效率，需要对这棵树做优化，让整棵树保持一定的平衡，这就是下一篇的主角：平衡二叉搜索树。

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